Нахождение площади по разбиению на прямоугольной сетке с разным шагом — диагностика ошибок, 5 класс

5 класс · Геометрия на клетчатой сетке. Диагностика ошибок: площадь на прямоугольной сетке с неодинаковым шагом

Найдите ошибку в вычислении площади

На прямоугольной сетке клетка не обязательно квадратная. Если расстояние между соседними вертикальными линиями равно 2 см, а между соседними горизонтальными — 5 см, одна клетка имеет площадь 2 × 5 = 10 см². Поэтому результат «12 клеток = 12 см²» неверен: на такой сетке 12 клеток занимают 120 см².

Важное уточнение: шаг по горизонтали — ширина клетки, шаг по вертикали — её высота. Сначала сосчитайте клетки, которые действительно принадлежат фигуре, затем умножьте их число на площадь одной клетки. Если сетка имеет размеры в разных единицах, до умножения переводите их в одинаковые единицы длины.

Диагностика: пять чужих решений

Найдите не только неверное число, но и нарушенное правило. Запишите исправленный расчёт так, чтобы по нему другой ученик мог проверить ваш ход мысли.

1. Прямоугольник 5 столбцов и 3 ряда, шаг x = 2 см, шаг y = 4 см. Неверное решение: Ученик получил 15 см², посчитав клетки без учёта размеров. Найдите причину и запишите верную площадь.
2. Прямоугольник 4 столбца и 6 рядов, шаг x = 3 см, шаг y = 2 см. Неверное решение: Ученик написал 216 см², возведя горизонтальный шаг 3 в квадрат. Найдите причину и запишите верную площадь.
3. Фигура из 6 × 5 клеток, из угла удалён блок 2 × 3; шаг x = 2 см, шаг y = 5 см. Неверное решение: Ученик умножил площадь большого прямоугольника на 10 и забыл убрать вырез. Найдите причину и запишите верную площадь.
4. Два прямоугольника по 4 × 3 и 3 × 4 клетки имеют общий блок 2 × 2; шаг x = 2 см, шаг y = 3 см. Неверное решение: Ученик сложил площади обоих прямоугольников, не вычтя перекрытие. Найдите причину и запишите верную площадь.
5. Прямоугольник из 3 столбцов и 4 рядов: шаг x = 50 см, шаг y = 2 дм. Неверное решение: Ученик перемножил 50 и 2, не переведя дециметры в сантиметры. Найдите причину и запишите верную площадь.

Проверка пяти исправлений

1. 15 × (2 × 4) = 120 см²; площадь клетки 8 см². Ответ: 120 см².
2. 24 × 3 × 2 = 144 см²; вертикальный шаг тоже нужен. Ответ: 144 см².
3. (30 − 6) × (2 × 5) = 240 см². Ответ: 240 см².
4. (12 + 12 − 4) × 6 = 120 см²; перекрытие учитывается один раз. Ответ: 120 см².
5. 2 дм = 20 см; 12 × 50 × 20 = 12 000 см². Ответ: 12000 см².

Тренировка: самостоятельно найдите площадь

В заданиях 6–15 меняются размеры клеток и форма. При вырезе из угла удалённые клетки не считаются. Для контроля попробуйте один раз сначала вычислить площадь исходного прямоугольника, а затем вычесть площадь выреза; другой раз — посчитать оставшиеся клетки строками.

6. У прямоугольника 7 столбцов и 3 рядов. Шаг по горизонтали 2 см, по вертикали 3 см. Найдите площадь в см² и число оставшихся клеток.
7. От прямоугольника 8 × 5 клеток отрезали из угла прямоугольник 2 × 2 клеток. Шаг по горизонтали 3 см, по вертикали 2 см. Найдите площадь в см² и число оставшихся клеток.
8. У прямоугольника 4 столбцов и 8 рядов. Шаг по горизонтали 4 см, по вертикали 2 см. Найдите площадь в см² и число оставшихся клеток.
9. От прямоугольника 7 × 6 клеток отрезали из угла прямоугольник 3 × 2 клеток. Шаг по горизонтали 2 см, по вертикали 4 см. Найдите площадь в см² и число оставшихся клеток.
10. У прямоугольника 9 столбцов и 3 рядов. Шаг по горизонтали 3 см, по вертикали 5 см. Найдите площадь в см² и число оставшихся клеток.
11. От прямоугольника 9 × 7 клеток отрезали из угла прямоугольник 4 × 3 клеток. Шаг по горизонтали 2 см, по вертикали 3 см. Найдите площадь в см² и число оставшихся клеток.
12. У прямоугольника 6 столбцов и 7 рядов. Шаг по горизонтали 5 см, по вертикали 2 см. Найдите площадь в см² и число оставшихся клеток.
13. От прямоугольника 8 × 8 клеток отрезали из угла прямоугольник 2 × 3 клеток. Шаг по горизонтали 3 см, по вертикали 4 см. Найдите площадь в см² и число оставшихся клеток.
14. У прямоугольника 5 столбцов и 9 рядов. Шаг по горизонтали 2 см, по вертикали 6 см. Найдите площадь в см² и число оставшихся клеток.
15. От прямоугольника 10 × 6 клеток отрезали из угла прямоугольник 3 × 2 клеток. Шаг по горизонтали 4 см, по вертикали 2 см. Найдите площадь в см² и число оставшихся клеток.

Ключ к тренировке

1. 21 клеток × (2 × 3) = 126 см².
2. 36 клеток × (3 × 2) = 216 см².
3. 32 клеток × (4 × 2) = 256 см².
4. 36 клеток × (2 × 4) = 288 см².
5. 27 клеток × (3 × 5) = 405 см².
6. 51 клеток × (2 × 3) = 306 см².
7. 42 клеток × (5 × 2) = 420 см².
8. 58 клеток × (3 × 4) = 696 см².
9. 45 клеток × (2 × 6) = 540 см².
10. 54 клеток × (4 × 2) = 432 см².

Проверьте себя по смыслу задачи

Ответ всегда выражается в квадратных единицах, а не в обычных сантиметрах. Результат для фигуры с вырезанным блоком обязан быть меньше площади полного прямоугольника при таком же шаге сетки. Если площадь неожиданно выросла после удаления участка, ошибка либо в знаке вычитания, либо в числе клеток. Полезный короткий алгоритм: посчитать клетки → учесть вырез → вычислить площадь клетки → умножить → указать единицы.