Нахождение стороны с помощью свойства медианы равнобедренного треугольника — рабочий лист для 7 класса

Рабочий лист, 7 класс. Во всех заданиях ABC — равнобедренный треугольник, AB=AC, точка D лежит на BC, а AD — медиана из вершины A к основанию BC. Значит, BD=DC=BC/2. Именно условие «медиана к основанию» здесь принципиально: медиана из другой вершины делит пополам другую сторону.

Быстрый чертёж и правило

      A
     /|
    / | 
   B--D--C

Проверьте обозначения: AB и AC — боковые стороны, BC — основание, AD проходит из вершины между равными сторонами и делит основание на две равные части. Также AD является высотой и биссектрисой, но для вычисления половины основания достаточно определения медианы.

Базовый уровень — 6 задач

1. В ∆ABC AB=AC, AD — медиана к BC, BD=3 см. Найдите BC.

   Решение: __________________________

2. В равнобедренном ∆ABC AD — медиана к основанию BC=10 см. Найдите BD и DC.

   Решение: __________________________

3. В ∆ABC AB=AC=17 см, медиана AD проведена к BC; BD=8 см. Найдите периметр ∆ABC.

   Решение: __________________________

4. В ∆ABC AB=AC; медиана AD имеет длину 24 см, BD=7 см. Периметр ∆ABD равен 56 см. Найдите AB.

   Решение: __________________________

5. В ∆ABC AB=AC=29 см и AD — медиана к BC. Периметр ∆ABC равен 98 см. Найдите BD.

   Решение: __________________________

6. В равнобедренном ∆ABC известно: AD — медиана к BC, AD=35 см, BD=12 см и AB=37 см. Найдите периметр ∆ABD.

   Решение: __________________________

Повышенный уровень — 6 задач

Здесь надо использовать одновременно свойство медианы и формулу периметра. Не перепутайте периметр всего треугольника и одного из двух маленьких.

1. В ∆ABC AB=AC=41 см, BD=9 см, AD=40 см. Найдите сумму периметров ∆ABD и ∆ACD.

   Проверка: __________________________

2. В равнобедренном ∆ABC медиана AD=45 см; периметр ∆ABD равен 126 см, BD=28 см. Найдите периметр всего ∆ABC.

   Проверка: __________________________

3. В ∆ABC AB=AC=61 см, AD=60 см, BD=11 см. Найдите разность между суммой периметров ∆ABD, ∆ACD и периметром ∆ABC.

   Проверка: __________________________

4. В ∆ABC AB=AC, AD — медиана к BC, BD=16 см. Найдите BC.

   Проверка: __________________________

5. В равнобедренном ∆ABC AD — медиана к основанию BC=66 см. Найдите BD и DC.

   Проверка: __________________________

6. В ∆ABC AB=AC=73 см, медиана AD проведена к BC; BD=48 см. Найдите периметр ∆ABC.

   Проверка: __________________________

Контроль рассуждений — 6 задач

1. В ∆ABC AB=AC; медиана AD имеет длину 84 см, BD=13 см. Периметр ∆ABD равен 182 см. Найдите AB.

   Обоснование: __________________________

2. В ∆ABC AB=AC=85 см и AD — медиана к BC. Периметр ∆ABC равен 242 см. Найдите BD.

   Обоснование: __________________________

3. В равнобедренном ∆ABC известно: AD — медиана к BC, AD=80 см, BD=39 см и AB=89 см. Найдите периметр ∆ABD.

   Обоснование: __________________________

4. В ∆ABC AB=AC=97 см, BD=65 см, AD=72 см. Найдите сумму периметров ∆ABD и ∆ACD.

   Обоснование: __________________________

5. В равнобедренном ∆ABC медиана AD=91 см; периметр ∆ABD равен 260 см, BD=60 см. Найдите периметр всего ∆ABC.

   Обоснование: __________________________

6. В ∆ABC AB=AC=113 см, AD=112 см, BD=15 см. Найдите разность между суммой периметров ∆ABD, ∆ACD и периметром ∆ABC.

   Обоснование: __________________________

Критерии самопроверки

За задачу можно поставить до трёх баллов. В заданиях, где требуется периметр, обязательно складывайте длины сторон нужной фигуры. Обозначение P(ABD) не равнозначно P(ABC).

Полный ключ ответов: базовый уровень

1. BD=DC, поэтому BC=2·3=6 см.
2. Оба отрезка равны: BD=DC=10:2=5 см.
3. BC=2·8=16 см; P=2·17+16=50 см.
4. AB=P(ABD)−AD−BD=56−24−7=25 см. Тогда AC тоже 25 см.
5. BC=P−2·AB=98−58=40 см, BD=40:2=20 см.
6. P(ABD)=AB+BD+AD=37+12+35=84 см.

Полный ключ ответов: повышенный уровень

1. Оба малых треугольника имеют периметр 41+9+40=90 см. Сумма 2·90=180 см; AD учтена дважды.
2. AB=126−45−28=53 см; BC=2·28=56 см. P(ABC)=2·53+56=162 см.
3. В двух малых периметрах AD посчитана дважды и больше нигде не исчезает. Разность 2·AD=2·60=120 см. Проверка: 2·132−144=120 см.
4. BD=DC, поэтому BC=2·16=32 см.
5. Оба отрезка равны: BD=DC=66:2=33 см.
6. BC=2·48=96 см; P=2·73+96=242 см.

Полный ключ ответов: контроль рассуждений

1. AB=P(ABD)−AD−BD=182−84−13=85 см. Тогда AC тоже 85 см.
2. BC=P−2·AB=242−170=72 см, BD=72:2=36 см.
3. P(ABD)=AB+BD+AD=89+39+80=208 см.
4. Оба малых треугольника имеют периметр 97+65+72=234 см. Сумма 2·234=468 см; AD учтена дважды.
5. AB=260−91−60=109 см; BC=2·60=120 см. P(ABC)=2·109+120=338 см.
6. В двух малых периметрах AD посчитана дважды и больше нигде не исчезает. Разность 2·AD=2·112=224 см. Проверка: 2·240−256=224 см.

Дополнительная проверка смысла результата

Предположим, у равнобедренного треугольника AB=AC=20 см, а периметр равен 64 см. Тогда основание BC=64−20−20=24 см, а медиана к основанию делит его на два отрезка по 12 см. Контроль: 20+20+12+12=64 см. Нельзя записать «AD=12 см»: 12 см — это BD и DC, то есть половины основания, а не длина самой медианы.

Ещё пример: известно, что периметр ∆ABD равен 30 см, AD=12 см, BD=5 см. Тогда AB=30−12−5=13 см, следовательно AC=13 см, а BC=10 см. Проверка периметра всего ∆ABC: 13+13+10=36 см. Пример наглядно показывает, почему надо внимательно читать, о каком треугольнике говорится в условии.

Граница применимости

Нельзя без дополнительной информации вычислить длину медианы AD, если известна только длина основания BC. Здесь она либо дана, либо не требуется. Нельзя также без основания заменять медиану к боковой стороне на медиану к основанию. Для всех задач в листе предусмотрены существующие невырожденные равнобедренные треугольники; длины имеют единицы «см», а периметр также выражен в сантиметрах, не в квадратных сантиметрах.