Нахождение суммы и произведения корней без решения — мини-тест с разбором для 8 класса

8 класс · быстрая диагностика · 13 вопросов. Прежде чем искать каждый корень, спросите: что дают коэффициенты? В задании нужно указать сумму S и произведение P действительных корней без непосредственного решения уравнения. Формулы S = −b/a, P = c/a работают для действительных корней, если они существуют (D ≥ 0); при D < 0 отметьте отсутствие действительных корней.

Как выбрать способ

А. Выберите короткий метод: 1–6

1. x² − 8x + 15 = 0 Укажите S и P, не вычисляя корни.
2. 2x² − 10x + 8 = 0 Укажите S и P, не вычисляя корни.
3. −3x² + 6x + 9 = 0 Укажите S и P, не вычисляя корни.
4. 5x² + 5x = 0 Укажите S и P, не вычисляя корни.
5. 4x² + 4x + 1 = 0 Укажите S и P, не вычисляя корни.
6. x² − 3x − 4 = 0 Укажите S и P, не вычисляя корни.

Б. Проверьте, всегда ли способ допустим: 7–13

В этих пунктах сначала проверьте число действительных корней через знак D. Затем укажите S и P, если корни есть. Особое внимание уделите пункту 12: незаметить отсутствие корней — такая же ошибка, как перепутать знак.

7. 3x² − 12x + 9 = 0 Определите допустимость метода, сумму и произведение.
8. x² + 2x + 1 = 0 Определите допустимость метода, сумму и произведение.
9. −2x² − 6x + 8 = 0 Определите допустимость метода, сумму и произведение.
10. 1/2x² − 3/2x + 1 = 0 Определите допустимость метода, сумму и произведение.
11. x² − 49 = 0 Определите допустимость метода, сумму и произведение.
12. x² + 4x + 8 = 0 Определите допустимость метода, сумму и произведение.
13. 2x² − 18 = 0 Определите допустимость метода, сумму и произведение.

Сравните два решения

Для 2x² − 10x + 8 = 0 первый ученик вычислил D = 36, затем нашёл корни 1 и 4 и только после этого получил S = 5, P = 4. Второй ученик заметил S = 10/2 = 5, P = 8/2 = 4. Оба верны, но если нужны лишь сумма и произведение, второй ход короче. При этом проверка D сообщает, что речь действительно идёт о действительных корнях.

Разбор методики: почему не нужно искать корни

В задаче 3 старший коэффициент отрицателен: −3x² + 6x + 9 = 0. Если сразу мысленно разделить всю запись на −3, получится x² − 2x − 3 = 0. Теперь видно, что сумма корней равна 2, а произведение −3. Та же проверка из общей формулы: −b/a = −6/(−3) = 2 и c/a = 9/(−3) = −3. При отрицательном старшем коэффициенте особенно важно не потерять оба минуса.

Другая ловушка — нулевой свободный член. В уравнении 5x² + 5x = 0 произведение корней равно 0. Это значит, что хотя бы один корень равен нулю; второе значение можно найти по сумме −1. Для вопроса о S и P решать всё уравнение всё равно необязательно. Аналогично, в уравнении x² − 49 = 0 сумма корней равна 0, произведение −49: чисел можно даже не называть.

Как проверить достаточность рассуждения

Объясните ученику различие между «коэффициенты дают −b/a и c/a» и «существуют действительные корни, чьи сумма и произведение таковы». Первое — формула коэффициентов, второе требует D ≥ 0. В этом тесте пункт 12 специально проверяет эту границу. Если учитель заранее оговорил, что работают только с уравнениями, имеющими два действительных корня с учётом кратности, такой пункт полезно вынести как дополнительный вопрос на внимательность.

Проверять можно без нахождения самих корней: записать a, b, c, вычислить D и затем вычислить две дроби −b/a и c/a. Такой порядок экономит время, не требует большого количества строк и одинаково работает при целых и дробных коэффициентах. Ученик должен уметь объяснить, зачем проверять существование корней, а не только правильно подставлять числа в шаблон.

Разбор мини-теста 1–13

Ученику: сначала выполните задания; ответы ниже предназначены для сверки после работы. При печати можно выбрать только страницы с заданиями.

1. S = 8, P = 15; D = 4, действительные корни есть. Коэффициенты: a = 1, b = -8, c = 15.
2. S = 5, P = 4; D = 36, действительные корни есть. Коэффициенты: a = 2, b = -10, c = 8.
3. S = 2, P = −3; D = 144, действительные корни есть. Коэффициенты: a = -3, b = 6, c = 9.
4. S = −1, P = 0; D = 25, действительные корни есть. Коэффициенты: a = 5, b = 5, c = 0.
5. S = −1, P = 1/4; D = 0, один двукратный корень. Коэффициенты: a = 4, b = 4, c = 1.
6. S = 3, P = −4; D = 25, действительные корни есть. Коэффициенты: a = 1, b = -3, c = -4.
7. S = 4, P = 3; D = 36, действительные корни есть. Коэффициенты: a = 3, b = -12, c = 9.
8. S = −2, P = 1; D = 0, двукратный корень. Коэффициенты: a = 1, b = 2, c = 1.
9. S = −3, P = −4; D = 100, действительные корни есть. Коэффициенты: a = -2, b = -6, c = 8.
10. S = 3, P = 2; D = 1/4, действительные корни есть. Коэффициенты: a = 1/2, b = -3/2, c = 1.
11. S = 0, P = −49; D = 196, действительные корни есть. Коэффициенты: a = 1, b = 0, c = -49.
12. D = 16 − 32 = −16: действительных корней нет; чисел S и P для действительных корней не существует. Коэффициенты: a = 1, b = 4, c = 8.
13. S = 0, P = −9; D = 144, действительные корни есть. Коэффициенты: a = 2, b = 0, c = -18.

Самоконтроль

За каждый номер: 1 балл за правильный вывод о существовании действительных корней и 1 балл за правильные S и P, либо за верный ответ «действительных корней нет». Всего 26 баллов. Если сумма меняет знак неверно — вернитесь к −b/a. Если неверно произведение — проверьте c/a. Если номер 12 решён как обычная задача Виета, повторите различие между формальными коэффициентными соотношениями и суммой действительных корней.