Нахождение угла четырёхугольника вписанного в окружность — проверочная работа, 8 класс

Проверочная мини-работа, 8 класс. Здесь требуется именно вычислять неизвестные углы вписанного выпуклого четырёхугольника, а не строить окружность или измерять дуги. Работа рассчитана примерно на 20–25 минут. В каждом задании вершины A, B, C, D следуют по окружности по порядку; противоположные пары — A и C, B и D.

Опорная схема и две проверки

Правило действует потому, что четыре вершины лежат на одной окружности, а четырёхугольник выпуклый. Если дан произвольный четырёхугольник, пользоваться им без дополнительных оснований нельзя. Не доверяйте «похожести» картинки: рисунок может быть не в масштабе.

Мини-тест: выбрать, вычислить, объяснить

Часть I. Быстрая диагностика (1–4)

1. На схеме ABCD — выпуклый вписанный четырёхугольник, вершины идут по окружности по порядку. ∠A = 73°. Найдите ∠C.
2. В том же порядке вершин ∠B = 118°. Чему равен ∠D?
3. Выберите возможную пару противоположных углов: а) 64° и 116°; б) 64° и 126°; в) 64° и 64°. Объясните выбор.
4. Дано ∠A = 2x + 15°, ∠C = 3x + 40°. Найдите x и оба угла.

Часть II. Расчёты и составление уравнений (5–10)

5. ∠B на 26° больше ∠D. Найдите оба угла.
6. ∠A : ∠C = 4 : 5. Найдите углы A и C.
7. ∠A = 91°, ∠B = 62°, ∠C = 89°. Найдите ∠D и проверьте всю четвёрку.
8. Известно, что ∠D = 3∠B. Найдите эти углы и укажите, какой тупой.
9. Дано ∠A = 180° − (4x + 6°), ∠C = 2x + 18°. При каком x четырёхугольник может быть вписанным?
10. Вписанный четырёхугольник имеет ∠A = 2∠C − 30°. Найдите A и C.

Часть III. Обоснование ответа (11–16)

11. Ученик решил: «Если угол A равен 104°, то соседний B обязательно 76°». Верно ли это? Приведите допустимую величину B, отличную от 76°.
12. ∠B = 47°. Можно ли утверждать, что ∠D = 133°, даже если рисунок выполнен не в масштабе?
13. ∠A = 3x − 10°, ∠C = x + 30°. Найдите x, A и C; проверьте положительность углов.
14. В циклическом четырёхугольнике три угла равны 76°, 102°, 104°. Какой четвёртый угол и какие углы являются противоположными?
15. Вписанный четырёхугольник ABCD имеет ∠A = 126°, ∠C = 54°, ∠B = 88°, ∠D = 92°. Существует ли противоречие? Почему?
16. Известно, что угол A острый, а угол C тупой. Если A увеличится на 12°, при сохранении вписанности и фиксированных B, D, как должен измениться C?

Лист ответов

Пояснения и проверка спорных вариантов

1. 107°. Противоположные углы A и C дополняют друг друга до 180°: 180° − 73°.
2. 62°. Углы B и D противоположны: 180° − 118°.
3. а). Только 64° + 116° = 180°. Варианты б) и в) дают другую сумму.
4. x = 25; A = 65°, C = 115°. 2x + 15 + 3x + 40 = 180; 5x = 125.
5. B = 103°, D = 77°. Пусть D = y, тогда B = y + 26, 2y + 26 = 180.
6. A = 80°, C = 100°. Девять долей дают 180°, одна доля 20°.
7. D = 118°. B + D = 62° + 118° = 180°; A + C = 91° + 89° = 180°.
8. B = 45°, D = 135°. B + 3B = 180°; D — тупой.
9. x = 6. Из 180 − (4x + 6) + (2x + 18) = 180 следует 12 − 2x = 0; A = 150°, C = 30°.
10. C = 70°, A = 110°. (2C − 30°) + C = 180°, 3C = 210°.
11. Нет. Соседний B не обязан дополнять A до 180°. Например, B = 60°, тогда D = 120°, C = 76°: обе противоположные пары дают 180°.
12. Да. Противоположность вершин определяется их порядком, а не точностью масштаба: 47° + 133° = 180°.
13. x = 40; A = 110°, C = 70°. 3x − 10 + x + 30 = 180. Оба угла в диапазоне (0°,180°).
14. 78°. 76° и 104° — противоположные; 102° и 78° — другая противоположная пара. Это определяет расположение вершин с точностью до поворота и обращения.
15. Нет. A + C = 180° и B + D = 180°; все величины лежат между 0° и 180°.
16. Уменьшиться на 12°. A + C обязана остаться равной 180°; изменение допустимо, пока оба угла между 0° и 180°.

Три типичные ошибки. (1) Складывают соседние углы вместо противоположных. (2) Применяют теорему, не убедившись, что четырёхугольник вписан. (3) Получив x, не находят запрошенный угол. В вычислениях с переменной сначала записывайте сумму 180°, затем подставляйте x в исходные формулы.

Критерий самопроверки: за каждый верный ответ и его основание — по 1 баллу; 14–16 баллов — уверенное владение приёмом, 10–13 — стоит повторить уравнения, менее 10 — начать с заданий 1–6. Ответ вида «потому что так видно» не засчитывается как объяснение.