Нахождение угла между объектами при общей точке двух прямых — упражнения разной сложности, 10 класс

Метод: где находится искомый угол

Если две прямые пересекаются в O, вокруг точки O возникают два равных острых и два равных тупых угла. Угол между прямыми — меньший из двух различных углов, то есть число от 0° до 90°. В случае совпадающих прямых он равен 0°. При переходе к противоположному лучу угол лучей меняется на смежный, но сам угол между прямыми остаётся прежним.

Для направляющих ненулевых векторов u и v используйте cos φ = |u·v|/(|u|·|v|), где φ — угол между прямыми. Модуль важен: отрицательное скалярное произведение означает тупой угол между выбранными направлениями, но не тупой угол между геометрическими прямыми. Если произведение равно нулю, прямые перпендикулярны; если модуль произведения равен произведению длин, направления коллинеарны.

Порядок проверки решения: нарисуйте точку пересечения; определите, какие именно лучи заданы; вычислите угол; при необходимости замените его на 180° − α; убедитесь, что результат лежит в диапазоне 0°–90°. Для пространственных направлений отдельно вычислите длины и скалярное произведение.

Уровень I. Углы в общей точке

Задания 1–8 выполняйте без калькулятора. Когда говорится об угле между прямыми, не подменяйте его смежным углом между лучами.

1. В точке O пересекаются прямые AB и CD. Один из углов равен 47°. Найдите острый угол между прямыми и соседний с данным угол.
2. Лучи OA и OB образуют угол 124°. Какой угол образуют содержащие их прямые?
3. Прямые a и b пересекаются под углом 38°. Луч OC противоположен одному из лучей, задающих острый угол. Найдите новый угол между лучами.
4. Два вертикальных угла равны 5x + 14° и 8x − 31°. Определите x и угол между прямыми, если эти углы острые.
5. Смежные углы при пересечении двух прямых равны 3x + 20° и 2x + 10°. Найдите меньший угол.
6. Угол между OA и OB равен 62°. Луч OD противоположен OB. Найдите ∠AOD и угол между прямыми OA и OD.
7. В точке O лучи OA, OB лежат в одной плоскости. Известно, что ∠AOB=90°. Можно ли утверждать, что прямые OA и OB перпендикулярны?
8. Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла. Один угол равен 137°. Выпишите все четыре угла и угол между прямыми.

Уровень II. Пространственная запись без чертежа

Задания 9–16 дают направления лучей тройками координат. Числа в скобках — координаты вектора от O, а не координаты двух разных точек; это позволяет сравнивать направления сразу.

9. Из точки O проведены лучи OA=(3;0;0) и OB=(3;3;0). Найдите угол между ними и поясните способ.
10. Векторы OA=(1;0;0), OB=(1;√3;0). Найдите угол между содержащими их прямыми.
11. Из одной точки идут лучи OA=(2;1;0) и OB=(−1;2;0). Каков угол между прямыми?
12. OA=(1;1;1) и OB=(1;1;−2). Определите угол между прямыми.
13. OA=(2;0;0), OB=(−2;−2;0). Найдите именно угол между прямыми, а не ориентированными лучами.
14. OA=(3;0;0), OB=(−3;0;0). Что можно сказать о направлении лучей и угле между прямыми?
15. OA=(2;2;0) и OB=(−1;1;0). Проверьте перпендикулярность и найдите угол.
16. OA=(0;0;5), OB=(3;4;0). Найдите угол и поясните, почему знак координат здесь не влияет.

Уровень III. Применяем несколько шагов

В заданиях 17–24 сперва выделите плоское сечение или направляющие векторы, затем найдите косинус угла, а после сделайте смысловую проверку: ответ должен быть острым или прямым.

17. У прямого параллелепипеда рёбра OA=4, OB=3, OC=5 взаимно перпендикулярны. Найдите угол между OA и диагональю основания OD=OA+OB.
18. В том же трёхгранном угле найдите угол между OB и OD=OA+OB.
19. Рёбра OA и OB образуют прямой угол, OA=6, OB=8. Найдите угол между OA и суммой векторов OA+OB.
20. Векторы u=(2;−1;2) и v=(1;2;0) выходят из одной точки. Найдите угол между задаваемыми ими прямыми.
21. Из O идут OA=(1;1;0), OB=(1;0;1). Определите угол между ними.
22. У прямоугольного трёхгранного угла направления OA=(1;0;0), OB=(0;1;0), OC=(0;0;1). Найдите угол между OA+OB и OA−OB.
23. Угол между лучами OA и OB равен 150°. Отметьте, как изменится угол между прямыми при замене OB на противоположный луч.
24. Даны ненулевые векторы u=(k;2;0), v=(2;−k;0), выходящие из одной точки. При каких действительных k угол между прямыми равен 90°?

Ответы к уровню I

1. Острый угол между прямыми равен 47°; смежный равен 180° − 47° = 133°. Угол между прямыми принимают не более 90°.
2. Меньший из углов 124° и 180° − 124° равен 56°. Не следует писать 124° как угол между прямыми.
3. Вместо исходного угла 38° получаем смежный 142°. Между самими прямыми по-прежнему 38°.
4. Вертикальные углы равны: 5x + 14 = 8x − 31, откуда x=15. Каждый равен 89°, поэтому угол между прямыми 89°.
5. 3x + 20 + 2x + 10 = 180, откуда x=30. Углы 110° и 70°. Ответ: 70°.
6. ∠AOD = 180° − 62° = 118°, а угол между соответствующими прямыми остаётся 62°.
7. Да, если речь идёт о прямых, содержащих ненулевые лучи, они пересекаются в O под прямым углом. Ответ: 90°, перпендикулярны.
8. Вертикальный ему равен 137°, смежные — по 43°. Получаем 137°, 43°, 137°, 43°; угол между прямыми 43°.

Разбор уровня II

9. Скалярное произведение равно 9, длины равны 3 и 3√2. cos φ=9/(9√2)=1/√2, значит φ=45°.
10. Скалярное произведение 1, длины 1 и 2. cos φ=1/2, угол 60°.
11. (2;1;0)·(−1;2;0)=−2+2=0. Оба вектора ненулевые, поэтому угол 90°.
12. Скалярное произведение 1+1−2=0; следовательно, 90°. Это пример перпендикулярных прямых в пространстве, пересекающихся в O.
13. cos угла лучей = −4/(2·2√2)=−1/√2, то есть угол лучей 135°. Между прямыми берём острый угол 45°.
14. Лучи противоположны; угол между лучами 180°, а содержащие их прямые совпадают. Угол между совпадающими прямыми 0°.
15. Произведение 2·(−1)+2·1=0, длины положительны. Угол 90°.
16. Произведение равно 0, поскольку один вектор направлен по вертикальной оси, второй лежит в горизонтальной плоскости. 90°.

Подробные решения уровня III

17. Косинус угла равен 4/√(4²+3²)=4/5, поэтому φ=arccos(4/5)≈36,87°. Высота OC не требуется.
18. Косинус равен 3/5, поэтому arccos(3/5)≈53,13°. Сумма двух острых углов основания равна 90°.
19. Длина диагонали равна 10. Проекция на OA имеет длину 6: cos φ=6/10=3/5. φ≈53,13°.
20. Скалярное произведение 2−2=0. Оба вектора ненулевые. 90°.
21. Произведение 1, длины √2 и √2, cos φ=1/2; значит 60°.
22. Произведение (1;1;0)·(1;−1;0)=1−1=0. Прямые перпендикулярны: 90°.
23. Изначально угол между прямыми 180°−150°=30°. После замены луча угол AOB становится 30°, но геометрическая прямая остаётся той же. Ответ: угол между прямыми не меняется, 30°.
24. u·v=2k−2k=0 при любом k. Длины √(k²+4) положительны. Ответ: при всех действительных k. Здесь нулевая длина не возникает.

Как отличить две похожие ошибки

Если при вычислении вышло 135°, ошибка, скорее всего, не в косинусе: вы нашли угол двух ориентированных лучей, но задача просила угол между прямыми. Правильная величина в такой ситуации 45°. А если написано 0° без доказательства пропорциональности направляющих векторов, нужно проверить коллинеарность, а не только сходство рисунка.

Для проверки можно оценить: задания 1–8 — по 1 баллу, 9–16 — по 2 балла, 17–24 — по 3 балла. Всего 48 баллов. В сложных заданиях отдельный балл заслуживает правильный выбор угла и объяснение, почему он не превышает 90°.

Дополнительная методика для сложных углов

В задаче о двух прямых иногда кажется, что искомая величина зависит от выбора начала отсчёта на лучах. Это неверно: каждую прямую можно направить двумя противоположными единичными векторами. Поэтому формула для скалярного произведения двух направлений без модуля описывает угол выбранных векторов от 0° до 180°, а после взятия модуля косинуса — меньший угол между прямыми. Особенно важно различать эти величины, если условие одновременно содержит ориентированный угол AOB и фразу «угол между прямыми OA и OB».

При пространственных вычислениях не требуется заранее знать, лежат ли обе рассматриваемые прямые в одной горизонтальной плоскости. Если они действительно выходят из одной точки O, то задают некоторую плоскость, а координатная формула работает непосредственно. Например, направления (1;1;0) и (1;0;1) не лежат ни в одной из координатных плоскостей одновременно, но их угол находится по скалярному произведению как 60°. Вычисление через общий треугольник также возможно, если известны длины OA, OB и AB.

Полезная самостоятельная обратная проверка: возьмите для одного задания вектор OB с противоположными координатами. Скалярное произведение сменит знак, косинус угла лучей также сменит знак, но угол между самими прямыми останется прежним. Если результат изменился, значит произошло смешение двух определений. Ещё одна проверка: для двух ненулевых векторов абсолютная величина скалярного произведения не превосходит произведения длин. Нарушение этого неравенства показывает ошибку арифметики.