Наименьшее натуральное решение неравенства: задания с ответами для 8 класса

Карточки предназначены для парной работы: один ученик решает лист А, другой — лист Б, затем они обмениваются тетрадями и проверяют ответы по единому ключу. Здесь мы считаем натуральными числа 1, 2, 3, …; число 0 не включаем. Такое соглашение нужно озвучить, потому что в разных учебных пособиях встречаются разные определения множества натуральных чисел.

Три условия, которые нельзя путать

Нужно найти число, которое (1) натуральное, (2) удовлетворяет неравенству и (3) меньше всех остальных подходящих натуральных. Так, при x ≥ 4 ответ 4, при x > 4 — 5. Если x > −6, наименьшее натуральное решение 1, а не −5. Если x < 1, натуральных решений нет, поскольку 1 уже не подходит, а меньших положительных целых нет.

Проверка по смыслу: подставь найденное натуральное число в исходное неравенство, затем проверь, нет ли меньшего натурального, которое тоже подходит. Если утверждаешь, что решений нет, объясни, почему ни одно положительное целое число не проходит проверку.

Лист А — ученик 1

Первые четыре упражнения тренируют левую границу, следующие четыре — внимание к натуральным числам и строгому знаку. Запишите неравенство в виде x > a или x ≤ a, затем назовите наименьшее натуральное решение. Партнёр не подсказывает во время решения.

1. x > 4. Наименьшее натуральное: __________; проверка: __________.
2. x ≥ 4. Наименьшее натуральное: __________; проверка: __________.
3. 2x > 7. Наименьшее натуральное: __________; проверка: __________.
4. 3x − 1 ≥ 8. Наименьшее натуральное: __________; проверка: __________.
5. x > -5. Наименьшее натуральное: __________; проверка: __________.
6. x < 3. Наименьшее натуральное: __________; проверка: __________.
7. x < 1. Наименьшее натуральное: __________; проверка: __________.
8. -2x ≥ -5. Наименьшее натуральное: __________; проверка: __________.

Лист Б — ученик 2

Во второй карточке есть задания с изменением направления знака, а также примеры, где ответа нет. Если при делении на отрицательный коэффициент сохранён прежний знак, ошибка проявится уже на подстановке. В решении обязательно покажите этот шаг отдельно.

1. x ≥ 0. Найди наименьшее натуральное решение либо запиши «нет»: __________.
2. 2x + 3 > 17. Найди наименьшее натуральное решение либо запиши «нет»: __________.
3. -3x + 1 < -8. Найди наименьшее натуральное решение либо запиши «нет»: __________.
4. 4x − 2 ≥ 9. Найди наименьшее натуральное решение либо запиши «нет»: __________.
5. −x > 2. Найди наименьшее натуральное решение либо запиши «нет»: __________.
6. x ≤ 1. Найди наименьшее натуральное решение либо запиши «нет»: __________.
7. -2x + 5 ≤ -2. Найди наименьшее натуральное решение либо запиши «нет»: __________.
8. 3x − 4 < -2. Найди наименьшее натуральное решение либо запиши «нет»: __________.

Обмен листами и взаимопроверка

Поменяйтесь листами. Проверяющий ставит рядом с ответом «+», если число положительное целое и действительно удовлетворяет исходному условию. При ошибке он не пишет правильный ответ сразу, а задаёт вопрос: «Какая граница у этого неравенства? Включена ли она? Что происходит с единицей?» Затем ученики открывают ключ.

Примеры объяснений до выдачи ключа

Пусть 2x + 3 > 17. После переноса получаем 2x > 14, значит, x > 7. Первое подходящее натуральное — 8. Число 7 не проходит строгий знак, а 8 уже проходит: 19 > 17. Если бы стоял нестрогий знак ≥, ответ был бы 7. Эти два случая удобно сравнить вслух, прежде чем проверять задания друг друга.

Пусть −3x + 1 < −8. Переносим единицу: −3x < −9. После деления на −3 знак меняется и получается x > 3. Значит, первое натуральное решение — 4. Проверьте: −3 · 4 + 1 = −11, а −11 < −8. Тройка же даёт −8, что не удовлетворяет строгому знаку. Здесь одновременно используются перенос, изменение направления и выбор наименьшего натурального.

Существует и третий тип ответа — «натуральных решений нет». Для x < 1 число 1 уже не подходит, а все следующие натуральные ещё больше. Никаких других натуральных по принятому определению нет. Но для x ≤ 1 число 1 удовлетворяет условию и ответ существует. Важно, чтобы ученик объяснил отсутствие решения не словами «я не нашёл», а опорой на упорядоченность натурального ряда.

После взаимопроверки ученики могут придумать по одному дополнительному неравенству с ответом 1 и с ответом «нет». Например, x > −2 даёт 1, а x ≤ 0 при нашем соглашении не даёт натуральных. Попросите партнёра проверить придуманный пример. Это завершает работу применением алгоритма, а не механическим переписыванием готовых чисел.

Три способа проверить ответ партнёра

Первый — подстановка: если ответ 5, вычислите левую часть при x = 5 и проверьте исходный знак. Второй — проверка всех меньших натуральных: при ответе 5 числа 1, 2, 3 и 4 должны не подходить. Третий — проверка знака после преобразования: если при делении на отрицательное число знак остался прежним, верное число может оказаться на противоположной части прямой.

При большой границе необязательно перебирать каждое число от 1. Для x > 100 любой натуральный от 1 до 100 не подходит сразу по условию, а 101 подходит. Это объясняет, почему правильный математический аргумент сильнее механического перебора. Для x ≤ −2 отсутствие натуральных доказывается тем, что все натуральные не меньше единицы, а единица уже превосходит верхнюю границу.

Часто смешивают слова «целое» и «натуральное». Для x < 0 наибольшее целое решение — −1, но ни одного натурального решения по нашей договорённости нет. Сравнение этих ответов полезно в конце пары: пусть каждый ученик составит похожий пример и попросит партнёра назвать сначала множество целых, затем множество натуральных решений.

Ответы для учителя: лист А и лист Б

Лист А

1. x > 4; 5. Подстановка 5 верна; меньшие натуральные не подходят.
2. x ≥ 4; 4. Подстановка 4 верна; меньшие натуральные не подходят.
3. x > 7/2; 4. Подстановка 4 верна; меньшие натуральные не подходят.
4. x ≥ 3; 3. Подстановка 3 верна; меньшие натуральные не подходят.
5. x > -5; 1. Подстановка 1 верна; меньшие натуральные не подходят.
6. x < 3; 1. Подстановка 1 верна; меньшие натуральные не подходят.
7. x < 1; натуральных решений нет: даже 1 не удовлетворяет, а меньших натуральных чисел в принятом соглашении нет.
8. x ≤ 5/2; 1. Подстановка 1 верна; меньшие натуральные не подходят.

Лист Б

1. x ≥ 0; 1. Подстановка 1 верна; меньшие натуральные не подходят.
2. x > 7; 8. Подстановка 8 верна; меньшие натуральные не подходят.
3. x > 3; 4. Подстановка 4 верна; меньшие натуральные не подходят.
4. x ≥ 11/4; 3. Подстановка 3 верна; меньшие натуральные не подходят.
5. x < -2; натуральных решений нет: даже 1 не удовлетворяет, а меньших натуральных чисел в принятом соглашении нет.
6. x ≤ 1; 1. Подстановка 1 верна; меньшие натуральные не подходят.
7. x ≥ 7/2; 4. Подстановка 4 верна; меньшие натуральные не подходят.
8. x < 2/3; натуральных решений нет: даже 1 не удовлетворяет, а меньших натуральных чисел в принятом соглашении нет.

Оценивание пары: каждый получает 1 балл за верную границу и 1 балл за ответ с проверкой — до 16 баллов за лист. Для повторения выберите разные типы ошибок: «включил 0», «взял целое отрицательное», «не изменил знак после деления», «назвал 1 в случае, когда она не подходит». Эти ошибки проверяют разные навыки, поэтому их полезно разбирать отдельно.