Неравенства с параметром в простых случаях — задачи и ответы, 8 класс

Быстрый старт: знак коэффициента решает всё

Задания ученику: первый уровень — известное значение a

В первых шести заданиях параметр уже указан. Запишите множество решений каждого неравенства и объясните, почему знак сохранился или изменился.

1. a·x > 12 при a = 3
2. a·x > 12 при a = −4
3. a·x > 12 при a = 0
4. a·x ≤ 18 при a = 6
5. a·x ≤ 18 при a = −3
6. a·x ≤ 18 при a = 0

Второй уровень — три возможных знака параметра

Для каждого неравенства отдельно запишите ответы при a > 0, a = 0, a < 0. Запись «x — любое» означает все действительные числа.

7. a·x > 6
8. a·x < −8
9. a·x ≥ 0
10. a·x ≤ −5
11. a·x ≥ −4
12. a·x < 0

Практический кейс: где нельзя делить на букву

В заданиях 13–16 сначала избавьтесь от лишнего слагаемого или рассмотрите выражение в скобках. Нельзя автоматически делить на a: a может оказаться нулём. Отмечайте это рядом с решением.

13. a·(x − 2) > 0
14. a·(x + 3) ≤ 0
15. a·x + 5 ≥ 5
16. a·x − 7 < −7

Проверка результата и ответы учителю

При проверке каждого случая подставьте два пробных значения: одно из указанного множества решений, другое — вне его. Например, для −4x > 12 значение x = −4 подходит, а x = 0 не подходит. Пробная подстановка помогает обнаружить ошибку, но не заменяет обоснование всех случаев.

1. x > 4. 3x > 12; делим на 3, знак сохраняется.
2. x < −3. −4x > 12; делим на −4, знак меняется.
3. решений нет. 0 > 12 — неверно для всех x.
4. x ≤ 3. 6x ≤ 18; делим на положительное.
5. x ≥ −6. −3x ≤ 18, знак меняется.
6. любое действительное x. 0 ≤ 18 — верно независимо от x.
7. a > 0: x > 6/a; a < 0: x < 6/a; a = 0: решений нет. При a = 0 получаем 0 > 6, что ложно.
8. a > 0: x < −8/a; a < 0: x > −8/a; a = 0: решений нет. Нуль не меньше −8.
9. a > 0: x ≥ 0; a < 0: x ≤ 0; a = 0: любое x. При a = 0 выходит 0 ≥ 0, верное равенство.
10. a > 0: x ≤ −5/a; a < 0: x ≥ −5/a; a = 0: решений нет. При a = 0 неравенство 0 ≤ −5 ложно.
11. a > 0: x ≥ −4/a; a < 0: x ≤ −4/a; a = 0: любое x. 0 ≥ −4 верно.
12. a > 0: x < 0; a < 0: x > 0; a = 0: решений нет. 0 < 0 неверно.
13. a > 0: x > 2; a < 0: x < 2; a = 0: решений нет. Сначала рассматриваем знак a, затем сравниваем x − 2 с нулём.
14. a > 0: x ≤ −3; a < 0: x ≥ −3; a = 0: любое x. Равенство при a = 0 подходит любому x.
15. a > 0: x ≥ 0; a < 0: x ≤ 0; a = 0: любое x. Вычитаем 5 из обеих частей: a·x ≥ 0.
16. a > 0: x < 0; a < 0: x > 0; a = 0: решений нет. После прибавления 7: a·x < 0.

Шкала самопроверки: 13–16 верных решений — уверенное владение приёмом; 9–12 — повторить смену знака; до 8 — сначала разобрать разницу между положительным, нулевым и отрицательным коэффициентом. На уровне параметров единицей оценки считается полностью верный разбор трёх случаев.

Типичная ошибка: вместо a = 0 школьник пишет «x = 0». Однако a — это параметр, а x — переменная; равенство a = 0 может сделать неравенство истинным при любом x или ложным при любом x. Вторая ошибка — перестановка знаков в случае a < 0. Полезно отмечать эту проверку отдельной стрелкой.

Совет для печати: сначала распечатайте разделы с заданиями ученику; ответы и решения вынесены отдельно для учителя и самопроверки.