Неравенство с логарифмом и квадратным трёхчленом: задания от простого к сложному, 11 класс
Модель измерений: безразмерный положительный индекс прибора Q(t) вычисляется по квадратной формуле, а на панели показывается L(t)=logbQ(t). Величина t может означать часы после запуска; когда это указано, время дополнительно ограничено рабочим интервалом. Сравнивать логарифмы можно лишь после проверки Q(t)>0. Для b>1 логарифм возрастает, а при 0<b<1 убывает.
В таблице приведены три сценария — дневной мониторинг, отклонение показателя от нормы и исследовательская модель. Все коэффициенты условные учебные данные, а не описание реального оборудования. При решении не заменяйте логарифмическое неравенство на квадратное без учёта основания и ОДЗ.
Содержание статьи8 разделов
Исходные данные для прикладного кейса
| Режим | Модель индекса Q(t) | Интервал времени | Порог на табло |
|---|---|---|---|
| A — стабильность | (t−3)²+1 | 0≤t≤6 ч | log₂Q≤2 |
| Б — контроль пика | 9−(t−3)² | 0≤t≤6 ч | log₂Q≥3 |
| В — безопасность серии | 25−(t−2)² | 0≤t≤8 ч | log₂Q<3 |
Перевод условий на язык квадратных неравенств
Пример 1. Если log2((t−3)²+1)≤2, то (t−3)²+1≤4, поскольку основание 2>1. Получаем |t−3|≤√3, то есть 3−√3≤t≤3+√3. Оба конца допустимы, индекс в этих точках равен 4, а логарифм — 2.
Пример 2. Для log1/2((t−4)²)>−2 направление меняется: 0<(t−4)²<4. Значит 2<t<6, но t=4 запрещено из-за нуля аргумента. Это два открытых промежутка, а не один.
Пример 3. При Q(t)=25−(t−2)² условие log2Q(t)<3 означает 0<Q<8, то есть 17<(t−2)²<25. Условие t≥0 отбрасывает отрицательный промежуток: остаётся 2+√17<t<7. Проверка: при t=7 индекс 0, логарифм не существует.
14 связанных заданий — от данных к строгому ответу
Блок I — режимы датчика и первые границы
- Режим А, 0≤t≤6: log₂((t−3)²+1)≤2. Укажите время пригодной работы.
Запишите ОДЗ и порог Q: ____________________________________
- Режим Б, 0≤t≤6: log₂(9−(t−3)²)≥3. Найдите время превышения порога.
Запишите ОДЗ и порог Q: ____________________________________
- Для x∈ℝ решите log₂((x−1)²)>2.
Запишите ОДЗ и порог Q: ____________________________________
- Для x∈ℝ решите log₂((x+2)²)<2.
Запишите ОДЗ и порог Q: ____________________________________
Блок II — влияние основания и положения вершины параболы
- Для x∈ℝ решите log₁/₂(x²+1)≥−2.
Запишите условие на Q и интервалы: ____________________________
- Для x∈ℝ решите log₁/₂((x−4)²)>−2.
Запишите условие на Q и интервалы: ____________________________
- Для x∈ℝ решите log₃((x−2)²+2)>1.
Запишите условие на Q и интервалы: ____________________________
- Для x∈ℝ решите log₃(16−(x+1)²)≥2.
Запишите условие на Q и интервалы: ____________________________
- Для x∈ℝ решите log₁/₃((x−5)²+1)<−1.
Запишите условие на Q и интервалы: ____________________________
- Для x∈ℝ решите log₂(x²−4x+5)≤1.
Запишите условие на Q и интервалы: ____________________________
Блок III — ограничения времени, запрещённые точки и итог
- При t∈[0;6] решите log₂(4−(t−1)²)>0.
Результат с проверкой границ: __________________________________
- Для x∈ℝ решите log₁/₂(x²−6x+10)≤−1.
Результат с проверкой границ: __________________________________
- Для x∈ℝ решите log₃((x+1)²)≤1.
Результат с проверкой границ: __________________________________
- Режим В, 0≤t≤8: log₂(25−(t−2)²)<3.
Результат с проверкой границ: __________________________________
Полный ключ с ОДЗ и объяснениями
| № | Правильный ответ и проверка границы |
|---|---|
| 1 | [3−√3; 3+√3] ч. Индекс положителен всегда; требование равно |t−3|≤√3. |
| 2 | [2; 4] ч: требуется 9−(t−3)²≥8, значит (t−3)²≤1; Q≥8>0. |
| 3 | (−∞; −1)∪(3; +∞). Неравенство (x−1)²>4 автоматически обеспечивает ОДЗ. |
| 4 | (−4; −2)∪(−2; 0). Требуется 0<(x+2)²<4; x=−2 исключён. |
| 5 | [−√3; √3]. Основание 1/2 уменьшает логарифм: x²+1≤4; ОДЗ выполнена. |
| 6 | (2;4)∪(4;6). Из 0<(x−4)²<4 исключаем x=4. |
| 7 | (−∞;1)∪(3;+∞). Требуется (x−2)²>1; Q≥2 всегда. |
| 8 | [−1−√7; −1+√7]. Q≥9>0; достаточно (x+1)²≤7. |
| 9 | (−∞;5−√2)∪(5+√2;+∞). Основание 1/3: Q>3, значит (x−5)²>2. |
| 10 | [1;3]. Представим Q=(x−2)²+1; требуется Q≤2. |
| 11 | [0;1+√3) ч. Требуется Q>1, |t−1|<√3; пересечение с [0;6] включает 0. |
| 12 | (−∞;2]∪[4;+∞). Q=(x−3)²+1≥2 из-за убывания логарифма. |
| 13 | [−1−√3;−1)∪(−1;−1+√3]. Нужно 0<(x+1)²≤3, точка −1 исключается. |
| 14 | (2+√17;7) ч. Из 0<Q<8 получаем 17<(t−2)²<25; отрицательная ветвь не отвечает t≥0. |
Проверка единиц, условий и ответов
- Единицы. Логарифм берётся от безразмерного положительного Q, а ответ t выражается в часах. Нельзя логарифмировать величину в «часах» без нормировки; в задачах Q уже индекс без единиц.
- ОДЗ. В заданиях 4, 6 и 13 пропущенная точка внутри числового промежутка исключена обязательно; дробное основание логарифма не отменяет это условие.
- Знаки. При основаниях 1/2 и 1/3 переход к Q меняет направление неравенства. Ошибка здесь даёт противоположные интервалы.
- Ограничения модели. В заданиях 1, 2, 11 и 14 учитывайте время t≥0 и максимальный срок наблюдения. Решение на всей ℝ — ещё не окончательный ответ кейса.
- Граница. При строгом неравенстве соответствующее значение порога исключено; при нестрогом — включено, если Q>0. В задании 14 t=7 недопустимо независимо от строгого порога: Q=0.
Критерии самопроверки: 1 балл за верную ОДЗ, 1 за переход к квадратному неравенству с правильным направлением, 1 за конечный набор интервалов, ещё 1 за применение диапазона времени в задачах 1, 2, 11 и 14. Максимум 46 баллов. При ошибке прежде всего сравните исходное и преобразованное неравенства на пробной допустимой точке.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.