Неравенство с одной рациональной дробью и простой критической точкой: самостоятельная работа по математике, 8 класс

Памятка: ровно одна критическая точка

Рассматриваем дроби c/(ax+b), где c≠0 и a≠0. Единственная критическая точка — запрещённое значение x=−b/a, при котором знаменатель равен нулю. Нулей числителя здесь нет, поэтому дробь никогда не равна нулю. Это отличает данное упражнение от неравенств с двумя точками.

Пример: −4/(2x−6)>0. Знаменатель должен быть отрицательным: 2x−6<0, поэтому x<3. При x=3 выражение не определено. Знак дроби меняется только при прохождении запрещённой точки 3.

Серия I. Определите сторону числовой прямой

В каждом примере отметьте запрет и напишите интервал ответа. При знаках ≤ и ≥ не включайте точку, в которой знаменатель равен нулю.

1. 1/(x−4)>0
2. 3/(x+2)<0
3. −5/(x−1)≥0
4. −2/(x+6)≤0
5. 4/(x+7)≥0
6. −3/(x−8)>0
7. 7/(x−9)≤0
8. −6/(x+3)<0

Серия II. Знаменатель записан в другом порядке

Обращайте внимание на выражения 3−x и −x−1: коэффициент при x может быть отрицательным. Перемножение числителя и знаменателя на −1 не изменяет дробь, но знак каждого из них меняется.

1. 2/(3−x)>0
2. −4/(5−x)≤0
3. 5/(2−x)<0
4. −1/(−x−1)≥0
5. 3/(x/2−2)>0
6. −2/(7−2x)>0
7. 1/(4x+12)≤0
8. −3/(6−3x)≥0

Серия III. Линейная комбинация и дробная граница

Решите задания и проверьте ответ одним числом по разные стороны от критической точки. Не умножайте неравенство на неизвестный по знаку знаменатель без разбиения на случаи.

1. 6/(2x−8)>0
2. −8/(4x+12)≥0
3. 12/(6−3x)>0
4. −3/(9−3x)<0
5. 1/(5−2x)≤0
6. −5/(3x+15)≥0
7. 8/(−4x+28)≤0
8. −9/(−3x−6)>0

Разбираем неожиданные случаи из тренажёра

Задание 3. Дробь −5/(x−1) не может стать равной нулю. Поэтому знак ≥0 означает только строго положительную дробь. Числитель отрицательный, значит знаменатель должен быть отрицательным. Получаем x−1<0 и ответ x<1. Записывать x≤1 ошибочно: при x=1 происходит деление на ноль.

Задание 9. Если знаменатель 3−x, то он положителен при x<3, а не при x>3. Для проверки возьмём x=0: дробь 2/3 положительна. Возьмём x=4: 2/(−1) отрицательна. Это наглядный способ обнаружить ошибку при переносе x из правой части неравенства в левую.

Задание 12. Выражение −1/(−x−1) можно записать как 1/(x+1), если вынести минус и из числителя, и из знаменателя. Знак самой дроби от этого не меняется. Но x=−1 по-прежнему недопустимо. Отсюда решение x>−1.

Задание 14. Граница 7/2 возникает из уравнения 7−2x=0. При x=4 знаменатель равен −1, а дробь (−2)/(−1)=2>0. При x=3 знаменатель 1 и дробь отрицательна. Следовательно, подходит именно луч x>7/2. Не округляйте 7/2 до 4: потеряются все допустимые x от 3,5 до 4.

В заданиях с нестрогим знаком у дроби с ненулевым постоянным числителем может возникнуть соблазн «включить точку равенства». Такой точки просто нет: числитель равен, например, 7 или −3, но не нулю. Граница всегда открыта, потому что знаменатель на ней равен нулю. Это свойство объясняет одинаковые ответы для > и ≥ в этой узкой группе упражнений.

Ключ к трём сериям

Серия 1

1. x>4: числитель положителен, поэтому знаменатель должен быть положительным; x=4 исключён.
2. x<−2: положительное число делят на отрицательное.
3. x<1: отрицательная дробь станет положительной при отрицательном знаменателе; равенство 0 невозможно.
4. x>−6: отрицательный числитель, положительный знаменатель; x=−6 запрещён.
5. x>−7: нуля у дроби нет, поэтому знак ≥ здесь равносилен >.
6. x<8: отрицательный числитель и отрицательный знаменатель.
7. x<9: дробь строго отрицательна, при x=9 не существует.
8. x>−3: отрицательный числитель делим на положительный знаменатель.

Серия 2

9. x<3: условие 3−x>0, точка 3 запрещена.
10. x<5: 5−x>0; значение x=5 исключено.
11. x>2: 2−x<0.
12. x>−1: дробь равна 1/(x+1) при x≠−1.
13. x>4: знаменатель x/2−2 положителен только справа от 4.
14. x>7/2: знаменатель должен быть отрицательным.
15. x<−3: знаменатель отрицателен; в точке −3 дробь не определена.
16. x>2: отрицательный числитель и отрицательный знаменатель.

Серия 3

17. x>4: знак определяет знаменатель 2(x−4).
18. x<−3: знаменатель 4(x+3) отрицателен.
19. x<2: 6−3x>0.
20. x<3: знаменатель 9−3x>0.
21. x>5/2: 5−2x<0; точка 5/2 запрещена.
22. x<−5: 3x+15<0.
23. x>7: знаменатель −4x+28<0.
24. x>−2: после деления числителя и знаменателя на −3 получаем 3/(x+2)>0.

Самостоятельная проверка знаков

Оценивание: 1 балл за верную границу, 1 за направление луча и 1 за исключение критической точки. В заданиях 14 и 21 допустима запись дробного конца 7/2 и 5/2: это числа, а не включённые точки.