Неравенство с параметром и сменой порядка корней для 9 класса — упражнения с разбором

В этой теме нужно не просто находить корни квадратного трёхчлена, а отслеживать, как меняется их порядок при изменении параметра a. Обозначения min(u,v) и max(u,v) означают меньшее и большее из двух чисел.

Опорное правило

Если выражение имеет вид (x − r₁)(x − r₂), коэффициент при x² равен 1. Когда корни различны, произведение отрицательно строго между ними и положительно вне промежутка. При ≤ или ≥ точки корней включаются. Но при r₁ = r₂ получается квадрат: он всегда ≥ 0, равен нулю только в корне и никогда не отрицателен.

Как найти «смену порядка»: приравняйте корни r₁(a) = r₂(a), решите полученное уравнение относительно параметра. Проверьте три случая: a меньше порога, a равен порогу, a больше порога. Например, у (x − a)(x − 2) порог a = 2.

Шесть ошибочных решений — найдите и исправьте

1. Для (x − a)(x − 3) < 0 записали (a; 3) при любом a. Что неверно и как правильно?
2. Для (x − 2a)(x + 2) ≤ 0 всегда записали [−2; 2a]. Что неверно и как правильно?
3. Для (x − a)(x + 1) > 0 написали x < −1 или x > a, не сравнив a и −1. Что неверно и как правильно?
4. Для (x − a)(x − 4) ≥ 0 исключили промежуток между корнями, даже когда a = 4. Что неверно и как правильно?
5. Для (x + a)(x − a) < 0 записали только −a < x < a. Что неверно и как правильно?
6. Для (x − a)(x − 1) ≤ 0 написали открытый интервал между корнями. Что неверно и как правильно?

Проверка исправлений

1. Ошибка 1. При a < 3 ответ (a; 3); при a > 3 ответ (3; a); при a = 3 решений нет. Промежуток нужно записывать от меньшего корня к большему.
2. Ошибка 2. При a > −1: [−2; 2a]; при a < −1: [2a; −2]; при a = −1: {−2}. Критическое значение из равенства 2a = −2.
3. Ошибка 3. При a > −1 верно x < −1 или x > a; при a < −1 верно x < a или x > −1; при a = −1: x ≠ −1. В ответе два внешних луча.
4. Ошибка 4. При a ≠ 4 ответ (−∞; min(a,4)] ∪ [max(a,4); +∞); при a = 4 выражение (x − 4)² ≥ 0 верно при каждом действительном x.
5. Ошибка 5. При a > 0: (−a; a), при a < 0: (a; −a); при a = 0 получаем x² < 0, решений нет. Порядок корней меняется при a = 0.
6. Ошибка 6. Нестрогий знак включает оба нуля: при a ≠ 1 ответ [min(a,1); max(a,1)], при a = 1 только {1}.

Восемь самостоятельных упражнений

1. (x − a)(x − 6) < 0. Укажите множество решений для всех действительных a, в том числе при совпадении корней.
2. (x − 3a)(x + 3) ≤ 0. Укажите множество решений для всех действительных a, в том числе при совпадении корней.
3. (x − a)(x − 2) > 0. Укажите множество решений для всех действительных a, в том числе при совпадении корней.
4. (x + a)(x − 5) ≥ 0. Укажите множество решений для всех действительных a, в том числе при совпадении корней.
5. (x − 2a)(x − 1) ≤ 0. Укажите множество решений для всех действительных a, в том числе при совпадении корней.
6. −(x − a)(x − 4) ≤ 0. Укажите множество решений для всех действительных a, в том числе при совпадении корней.
7. (x − a)(x + a) < 0. Укажите множество решений для всех действительных a, в том числе при совпадении корней.
8. (x − a)(x + 2) ≥ 0. Укажите множество решений для всех действительных a, в том числе при совпадении корней.

Разбор каждого упражнения

1. (x − a)(x − 6) < 0. При a < 6: (a; 6); при a > 6: (6; a); при a = 6: ∅. Обе границы открыты, потому что знак строгий.
2. (x − 3a)(x + 3) ≤ 0. При a > −1: [−3; 3a]; при a < −1: [3a; −3]; при a = −1: {−3}. Порог: 3a = −3.
3. (x − a)(x − 2) > 0. При a ≠ 2: x < min(a,2) или x > max(a,2). При a = 2: все x, кроме 2, так как (x − 2)² > 0.
4. (x + a)(x − 5) ≥ 0. При a ≠ −5: x ≤ min(−a,5) или x ≥ max(−a,5). При a = −5: все действительные x. Порог −a = 5.
5. (x − 2a)(x − 1) ≤ 0. При a < 1/2: [2a; 1]; при a > 1/2: [1; 2a]; при a = 1/2: {1}.
6. −(x − a)(x − 4) ≤ 0. Это (x − a)(x − 4) ≥ 0. При a ≠ 4: x ≤ min(a,4) или x ≥ max(a,4); при a = 4: все x.
7. (x − a)(x + a) < 0. При a > 0: −a < x < a. При a < 0: a < x < −a. При a = 0: ∅.
8. (x − a)(x + 2) ≥ 0. При a ≠ −2: x ≤ min(a,−2) или x ≥ max(a,−2). При a = −2: все x, поскольку квадрат неотрицателен.

Пять вопросов для окончательной сверки

• Указано ли критическое значение параметра, когда корни совпадают?
• Верны ли включения граничных точек для строгого и нестрогого знака?
• Правильно ли расположены меньший и больший корни после смены знака параметра?
• При двойном корне проверен ли квадрат отдельно (не сохранена ли ошибочная схема двух разных корней)?
• Если стоит минус перед произведением, переведено ли неравенство в эквивалентное без потери смены знака?

Здесь нет дробей: ОДЗ — все действительные x и a. В следующей теме о целых решениях рациональных неравенств ограничение знаменателя нужно проверять обязательно; не переносите автоматически правила квадратного многочлена на дробь.

Что происходит ровно на границе между случаями

Пусть (x − a)(x − 3) < 0. Если a = 1, получаем (x − 1)(x − 3) < 0 и ответ (1; 3). Если a = 5, то корни поменялись местами, и ответ (3; 5). Но если a = 3, оба множителя равны x − 3, получается (x − 3)² < 0, а квадрат отрицательным не бывает. Этот специальный случай не получается простым подставлением a = 3 в открытую формулу (a; 3) без осмысления: мы специально фиксируем, что множество пусто.

Почему важен тип неравенства

Возьмём одно и то же произведение (x − a)(x − 4). При разных корнях условие < 0 даёт открытый промежуток между ними; условие ≤ 0 — закрытый промежуток. Условие > 0 даёт внешние лучи без границ, а ≥ 0 — с границами. При совпадении корней a = 4 картина меняется: (x − 4)² < 0 не имеет решений, (x − 4)² ≤ 0 выполняется только при x = 4, (x − 4)² > 0 — при x ≠ 4, а (x − 4)² ≥ 0 — при всех x. Прежде чем записывать ответ с параметром, обязательно проверьте ровно этот пограничный случай.

Проверка ответов числовыми подстановками

Для задания 8 рассмотрим (x − a)(x + 2) ≥ 0. При a = 0 корни −2 и 0, ответ x ≤ −2 или x ≥ 0. Проверим x = −3: оба множителя отрицательны, произведение положительно. Проверим x = −1: произведение отрицательно, значение не подходит. При a = −4 корни −4 и −2; ответ x ≤ −4 или x ≥ −2. Когда a = −2, получается квадрат (x + 2)² и подходят уже все действительные x. Так проверяются все три ветви одного ответа без калькулятора.

Учителю удобно просить ученика выбрать по одному значению параметра слева и справа от критического числа и одно значение ровно на границе. Эта проверка заставляет заметить не только арифметику, но и изменение геометрического положения корней на числовой оси.