Неравенство вида модуль x больше числа — карточки с ответами, 8 класс

Прикладной кейс: лабораторный термодатчик контролирует отклонение температуры от заданной нормы. Сигнал должен включаться только тогда, когда отклонение строго больше установленного порога. Здесь разбирается математическая модель |x − a| > r, а затем та же логика применяется к числам, расстояниям, длинам и измерениям.

Исходные данные лаборатории

Если целевое значение a, а допустимое отклонение r положительно, условие |x − a| > r эквивалентно двум случаям: x < a − r или x > a + r. Это две внешние области. Равенство порогу не подходит, потому что знак строгий. При r = 0 исключается только точка a; при r < 0 подходит любое действительное x.

Выполните кейс и перенесите метод

Решайте задачи по порядку. В первых девяти не забывайте единицы измерения и ограничения физических величин; в остальных найдите числовое множество решений.

1. Для температуры 20 °C порог отклонения 3 °C. Запишите условие тревоги.
2. Отметьте тревожные показания из таблицы: 16, 17, 18, 20, 23, 24, 26 °C.
3. Вызовет ли сигнал показание 17 °C?
4. Вызовет ли сигнал показание 24 °C?
5. Запишите множество тревожных температур интервально.
6. Установите порог 5 °C при норме 20 °C. Найдите условие тревоги.
7. Пройденное расстояние d ≥ 0 км должно отклоняться от 8 км более чем на 2 км.
8. Длина детали m > 0 мм должна отклоняться от 47 мм более чем на 0,4 мм.
9. Для высоты h ≥ 0 см требуется отклонение от 120 см больше 15 см.
10. Решите |x| > 6.
11. Решите |x| > 0.
12. Решите |x| > −2.
13. Найдите целые x, для которых |x| > 5 и |x| ≤ 7.
14. Решите |2x| > 8.
15. Решите |x + 3| > 4.
16. Решите |(x − 1)/2| > 3.
17. Отметьте отклонение более чем на 1 от −5: |x + 5| > 1.

Ключ к кейсу — ответы и обоснования

1. |T − 20| > 3, то есть T < 17 °C или T > 23 °C. При ровно 17 или 23 °C отклонение равно 3 °C, сигнал не включается.
2. 16, 24 и 26 °C. Отклонения 4, 4 и 6 °C; остальные не превышают 3 °C.
3. Нет. |17 − 20| = 3, не больше 3.
4. Да. |24 − 20| = 4 > 3.
5. (−∞; 17) ∪ (23; +∞) °C. Это математическая модель: температуры по обе стороны от допустимого диапазона.
6. T < 15 °C или T > 25 °C. Из |T − 20| > 5.
7. 0 ≤ d < 6 или d > 10 км. Из |d − 8| > 2, но отрицательные расстояния исключены.
8. 0 < m < 46,6 или m > 47,4 мм. Учитываем физическое ограничение m > 0.
9. 0 ≤ h < 105 или h > 135 см. Из |h − 120| > 15 с ограничением h ≥ 0.
10. x < −6 или x > 6. Это две открытые полупрямые, а не внутренний интервал.
11. x ≠ 0. Любое ненулевое число имеет положительный модуль.
12. Все действительные x. Модуль всегда ≥ 0, значит больше −2.
13. x ∈ {−7, −6, 6, 7}. Включены числа с модулем 6 и 7.
14. x < −4 или x > 4. Делим на 2: |x| > 4.
15. x < −7 или x > 1. x + 3 < −4 либо x + 3 > 4.
16. x < −5 или x > 7. |x − 1| > 6, откуда x − 1 < −6 или x − 1 > 6.
17. x < −6 или x > −4. Центр −5; выход за открытый отрезок [−6; −4] с исключением границ.

Проверка модели и граничных значений

Если температура 17 °C, то |17 − 20| = 3 °C: это не больше 3 °C. Для 16 °C отклонение 4 °C, сигнал включается. То же различие возникает между 23 и 24 °C. В задачах о длине детали и о пройденном расстоянии недостаточно записать формальное решение неравенства: физически невозможные отрицательные длины и расстояния нужно убрать.

В записи «|x| > 6» число 0 не подходит, а числа −7 и 7 подходят. При r = −2 условие |x| > −2 выполняется всегда. Эти две проверки помогают не путать тему «модуль больше» с неравенством «модуль меньше» из соседней карточки.

Критерии: 17 заданий. Для № 1–9 ответ засчитывается полностью, если есть математическая запись, верный диапазон и единица измерения. Для № 10–17 важна правильная запись объединения двух областей или особого случая r ≤ 0.

Где условие применимо в реальности

Когда прибор сравнивает показание с нормой, модуль означает величину отклонения, а не само измерение. Например, при норме 20 °C показания 16 °C и 24 °C отличаются на одинаковые 4 °C, хотя одно меньше нормы, а другое больше. Если критерий «более 3 °C», обе ситуации вызывают тревогу. По этой причине решение такого неравенства состоит из двух частей и не сводится к одной фразе «выше 23 °C».

Физические данные иногда вводят ограничения, отсутствующие у обычной переменной x: расстояние d не бывает отрицательным, длина детали m должна быть положительной. Поэтому ответ d < 6 или d > 10 в задаче о расстоянии нужно пересечь с условием d ≥ 0. Мы получаем 0 ≤ d < 6 или d > 10. А температуру в градусах Цельсия в рамках этой модели не требуется ограничивать снизу нулём: отрицательные показания возможны.

Сравните три ситуации для одного и того же центра a: при r > 0 подходят две внешние области; при r = 0 подходят все x, кроме a; при r < 0 неравенство выполняется для любого x. Границы при строгом неравенстве всегда исключены. Для проверки решения выбирайте одну внутреннюю точку и одну внешнюю точку и сравнивайте их отклонения с порогом.