Неравенство вида модуль x меньше числа — тренажёр по математике, 8 класс

В этой тренировке исследуется только строгое неравенство «модуль меньше». Смысл |x| < a: расстояние от x до нуля меньше a. Если a > 0, ответ — открытый промежуток (−a; a). Если a ≤ 0, решений нет.

Шесть неверных решений: найди ошибку

Не спеши смотреть ключ: в первых, третьем и четвёртом примерах проверяй обе границы, во втором и пятом вспоминай нижнюю границу модуля, в шестом — строгий знак.

12 самостоятельных упражнений

1. |x| < 7
2. |x + 5| < 3
3. |x − 4| < 1/2
4. |3x| < 9
5. |x/2| < 2
6. |x + 1| < −1
7. |x − 6| < 0
8. |2x − 3| < 5
9. |x + 4| < 2; x — целое
10. |x − 2| < 3; x — целое
11. |x| < 0,2
12. |5x + 10| < 15

Исправленные решения шести ошибок

1. |x| < 4 → −4 < x < 4. Забыта левая граница: x = −100 не подходит.
2. |x| < −2 → решений нет. Неотрицательный модуль никогда не меньше отрицательного числа.
3. |x − 3| < 2 → 1 < x < 5. Нужно прибавить 3 ко всем частям −2 < x − 3 < 2.
4. |2x| < 6 → −3 < x < 3. После −6 < 2x < 6 делим обе границы на 2.
5. |x + 2| < 0 → решений нет. Даже при x = −2 модуль равен 0, но 0 < 0 — ложь.
6. |x − 1| < 1 → 0 < x < 2. Знак строгий: при x = 0 или x = 2 модуль равен 1, а не меньше 1.

Проверка самостоятельных задач

1. −7 < x < 7. Центр 0, радиус 7; обе границы исключены.
2. −8 < x < −2. −3 < x + 5 < 3, вычитаем 5.
3. 3,5 < x < 4,5. −0,5 < x − 4 < 0,5.
4. −3 < x < 3. Делим обе части двойного неравенства на 3.
5. −4 < x < 4. Умножаем все части −2 < x/2 < 2 на 2.
6. решений нет. Правая часть отрицательна.
7. решений нет. Строго меньше нуля модуль быть не может.
8. −1 < x < 4. −5 < 2x − 3 < 5; прибавляем 3 и делим на 2.
9. x ∈ {−5, −4, −3}. −6 < x < −2, выбираем целые числа.
10. x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. −1 < x < 5, выбираем только целые.
11. −0,2 < x < 0,2. Радиус положителен; концы не включаются.
12. −5 < x < 1. 5|x + 2| < 15, значит |x + 2| < 3.

Открытая или закрытая граница?

Рассмотрим |x − 3| < 2. При x = 1 модуль равен 2; при x = 5 он тоже равен 2. Эти числа не подходят. А x = 3 подходит, поскольку |3 − 3| = 0 < 2. Поэтому правильное решение — 1 < x < 5. Скобки в интервальной записи круглые: (1; 5).

Критерий самопроверки: 18 заданий, из них 6 — анализ чужого решения и 12 — самостоятельное решение. Ставьте балл за верный ответ и дополнительно отмечайте объяснение границ в задачах № 8–10 второй части.

Почему область решений именно внутренняя

Модуль x — расстояние от нуля. Неравенство |x| < 3 означает, что точка находится ближе чем в трёх единицах от нуля, то есть строго внутри промежутка (−3; 3). Указание «x < 3» неполно: число −10 удовлетворяет ему, но |−10| = 10 и первоначальное неравенство нарушается. Этот контрпример полезно подставлять, когда ученик теряет левую границу.

Обобщение |ax + b| < c при c > 0 удобно начинать с двойного неравенства −c < ax + b < c. При делении на отрицательный коэффициент нужно поменять знаки неравенств; затем меньшую границу расположить слева. В упражнениях этой работы коэффициенты выбраны положительными, чтобы сосредоточиться на строгих границах и смысле модуля. Если c = 0 или c < 0, строгий знак «меньше» не допускает ни одного решения.