Область допустимых значений рациональной дроби — упражнения для печати, 8 класс

Рациональная дробь существует только при ненулевом знаменателе. ОДЗ (область допустимых значений) — все значения переменной, при которых знаменатель исходного выражения не обращается в ноль. Даже если потом дробь сократили, запрещённые значения исходной дроби не возвращаются. Условия в этой работе относятся к действительным числам.

Четырёхшаговая проверка: выделить знаменатель → составить неравенство «знаменатель ≠ 0» → найти запрещённые значения → записать ограничения. При произведении множителей каждый множитель обязан быть ненулевым. Если знаменатель — ненулевая постоянная, ограничений нет.

Входная диагностика: определите, где дробь не имеет смысла

1. Найдите ОДЗ дроби 5/(x−4).
2. Найдите ОДЗ дроби 7/(2x+6).
3. Найдите ОДЗ дроби x/(x²−9).
4. Найдите ОДЗ дроби (x+2)/8.

Если в двух первых примерах получились один или два запрета, это нормально: число запретов зависит от знаменателя, а не от сложности числителя. Теперь перейдите к разноуровневым карточкам.

Карточка А. Один линейный множитель

5. Запишите все допустимые x для 3/(x+7).
6. Запишите все допустимые x для (x−5)/(4x−8).
7. Запишите все допустимые x для (2x+1)/(5−x).
8. Запишите все допустимые x для 9/(−3x−12).
9. Запишите все допустимые x для (x²+1)/(6x).

Карточка Б. Произведение и разность квадратов

10. Укажите ОДЗ исходной дроби 4/[x(x−5)]; сокращать выражение необязательно.
11. Укажите ОДЗ исходной дроби (x+1)/[(x+2)(x−3)]; сокращать выражение необязательно.
12. Укажите ОДЗ исходной дроби 6/(x²−16); сокращать выражение необязательно.
13. Укажите ОДЗ исходной дроби (x−2)/[(x−2)(x+6)]; сокращать выражение необязательно.
14. Укажите ОДЗ исходной дроби (x+5)/(x²+1); сокращать выражение необязательно.

Карточка В. Контроль смысла

15. Разберите дробь [(x−1)(x+4)]/(x−1). Укажите запрещённые значения и объясните, почему их нельзя восстановить сокращением.
16. Разберите дробь (x²−25)/(x−5). Укажите запрещённые значения и объясните, почему их нельзя восстановить сокращением.
17. Разберите дробь x/(x²−4x). Укажите запрещённые значения и объясните, почему их нельзя восстановить сокращением.
18. Разберите дробь 5/(x²+9). Укажите запрещённые значения и объясните, почему их нельзя восстановить сокращением.

Ответы и комментарии к 18 заданиям

1. x ≠ 4. Проверяем именно исходный знаменатель выражения 5/(x−4).
2. x ≠ −3. Проверяем именно исходный знаменатель выражения 7/(2x+6).
3. x ≠ −3; x ≠ 3. Проверяем именно исходный знаменатель выражения x/(x²−9).
4. все действительные x. Проверяем именно исходный знаменатель выражения (x+2)/8.

5. x ≠ −7. Проверяем именно исходный знаменатель выражения 3/(x+7).
6. x ≠ 2. Проверяем именно исходный знаменатель выражения (x−5)/(4x−8).
7. x ≠ 5. Проверяем именно исходный знаменатель выражения (2x+1)/(5−x).
8. x ≠ −4. Проверяем именно исходный знаменатель выражения 9/(−3x−12).
9. x ≠ 0. Проверяем именно исходный знаменатель выражения (x²+1)/(6x).

10. x ≠ 0; x ≠ 5. Проверяем именно исходный знаменатель выражения 4/[x(x−5)].
11. x ≠ −2; x ≠ 3. Проверяем именно исходный знаменатель выражения (x+1)/[(x+2)(x−3)].
12. x ≠ −4; x ≠ 4. Проверяем именно исходный знаменатель выражения 6/(x²−16).
13. x ≠ 2; x ≠ −6. Проверяем именно исходный знаменатель выражения (x−2)/[(x−2)(x+6)].
14. все действительные x. Проверяем именно исходный знаменатель выражения (x+5)/(x²+1).

15. x ≠ 1. Проверяем именно исходный знаменатель выражения [(x−1)(x+4)]/(x−1).
16. x ≠ 5. Проверяем именно исходный знаменатель выражения (x²−25)/(x−5).
17. x ≠ 0; x ≠ 4. Проверяем именно исходный знаменатель выражения x/(x²−4x).
18. все действительные x. Проверяем именно исходный знаменатель выражения 5/(x²+9).

Учителю: для первых 9 заданий достаточно верного ограничения, в заданиях 10–18 попросите кратко записать нули знаменателя. В случае (x−2)/[(x−2)(x+6)] после сокращения остаётся 1/(x+6), но x=2 всё ещё недопустим. Для выражения x²+1 при действительном x верно x²≥0, следовательно x²+1≥1; ограничений нет.

Проверьте ответ подстановкой: каждое исключённое значение должно превратить исходный знаменатель в ноль, а любой другой проверяемый x — оставить его ненулевым. Если дробь сократилась, проведите эту проверку до сокращения. В разных программах 8 класса степень подробности обоснований может отличаться; здесь используется только определение дроби и разложение на простые множители.

Почему запрет значения не исчезает после сокращения

Рассмотрим дробь (x²−25)/(x−5). Числитель раскладывается как (x−5)(x+5), и при x ≠ 5 значение дроби совпадает с x+5. Но подстановка x=5 в исходную дробь даёт 0/0, что не определено. Поэтому корректная запись ответа состоит из двух частей: упрощённой формулы и запрета x=5. Если написать только x+5, область определения была бы молча расширена. Этот принцип важен для всех упражнений с рациональными выражениями.

Не смешивайте два вопроса: «при каких x существует исходная дробь?» и «при каких x числитель равен нулю?». Второе не означает запрет, если знаменатель остаётся отличным от нуля. Например, дробь x/(x+2) при x=0 равна нулю и определена. Запрет возникает лишь при x=−2. Если знаменатель — произведение x(x−5), недопустимы оба корня независимо от значения числителя.

Полезный алгоритм самоконтроля для сложных примеров: сначала на черновике выписать исходный знаменатель; затем решить уравнение «знаменатель = 0» и зачеркнуть найденные значения в строке «x может быть любым действительным числом, кроме…». Только после этого преобразовывать исходное выражение. Для произведения двух множителей достаточно приравнять к нулю каждый множитель отдельно. Для x²+9 нет действительных решений уравнения x²+9=0, поскольку квадрат неотрицателен.

При оценивании задач 10–18 не стоит ставить полный балл за угаданный ответ: попросите показать, какие значения превращают каждый множитель знаменателя в ноль. Для задания 12 это числа −4 и 4, а в задании 13 — 2 и −6. Удобная стратегия исправления ошибок — сравнить ответы на 13 и 15: сокращаемая и несокращаемая часть могут выглядеть похожими, но перечень недопустимых x зависит только от первоначальной дроби.

Разберите отдельно обозначение x≠a: оно означает исключение одного числа из всех действительных значений, а не промежуток справа или слева от a. Для двух корней требуется записать два запрета. В упражнениях 10 и 11 знаменатель уже дан в виде произведения, поэтому допустимые значения видны сразу. В упражнениях 12 и 16 сначала нужно распознать разность квадратов. В вопросах о дроби с постоянным ненулевым знаменателем допустимо любое действительное значение переменной: никаких запретов выдумывать не требуется.

При выполнении карточки Б можно использовать проверку двух разных значений: одного запрещённого и одного разрешённого. Для дроби 6/(x²−16) при x=4 знаменатель равен нулю и вычисление невозможно; при x=0 знаменатель равен −16, поэтому дробь существует. Это позволяет отличить запрет из-за нулевого знаменателя от просто отрицательного значения. Отрицательные числа в знаменателе допустимы, если они не равны нулю.