Обнаружение выброса в таблице при одном нулевом наблюдении — мини-практикум с ответами, 6 класс

6 класс · Среднее и изменчивость · 24 задания с решениями. Цель: замечать необычное наблюдение, отличать реальный нуль от ошибки записи и объяснять, почему среднее зависит от каждого числа.

Начальный вопрос: в таблице «12, 13, 0, 12, 14» нужно ли немедленно удалить нуль? Нет. Он далеко от остальных значений и заслуживает проверки, но может означать реальный результат. Выброс — необычное по отношению к остальным значение; назвать его ошибкой без знания условий измерения нельзя.

Как проводить проверку

• Назовите измеряемую величину и возможные значения: нулевое количество книг допустимо, а нулевая температура воздуха тоже бывает реальной.
• Посмотрите, насколько близки между собой остальные четыре или пять результатов. Если они около 20, нуль резко выделяется; если около 0–2, обычно не выделяется.
• Вычислите среднее со всеми данными. Для оценки влияния нуля вычислите ещё одно среднее условно, без нуля; оно не заменяет исходное, пока нет основания исключать запись.
• Среднее — сумма всех наблюдений, делённая на их число. В наборе с нулём знаменатель всё равно учитывает нулевое наблюдение. Медиана — середина упорядоченного ряда.

Уровень 1 — обнаружить необычное значение

1. Наблюдения «число решённых задач»: 0 · 14 · 15 · 14 · 16. Нуль резко отличается от основной группы? Почему?
2. Наблюдения «ошибки в диктанте»: 0 · 1 · 2 · 1 · 2. Нуль резко отличается от основной группы? Почему?
3. Наблюдения «число страниц»: 12 · 0 · 13 · 14 · 12. Нуль резко отличается от основной группы? Почему?
4. Наблюдения «число нарушений»: 1 · 0 · 1 · 2 · 1. Нуль резко отличается от основной группы? Почему?
5. Наблюдения «длина в сантиметрах»: 31 · 29 · 0 · 30 · 32. Нуль резко отличается от основной группы? Почему?
6. Наблюдения «количество ошибок»: 0 · 1 · 3 · 1 · 2. Нуль резко отличается от основной группы? Почему?
7. Наблюдения «число посетителей»: 43 · 0 · 42 · 44 · 43. Нуль резко отличается от основной группы? Почему?
8. Наблюдения «количество пропусков»: 0 · 2 · 3 · 1 · 2. Нуль резко отличается от основной группы? Почему?

Уровень 2 — оценить влияние нуля

1. По ряду 0 · 12 · 13 · 12 · 11 найдите среднее с нулём, условное среднее без нуля и медиану. На сколько изменится среднее при исключении нуля?
2. По ряду 5 · 6 · 0 · 5 · 4 найдите среднее с нулём, условное среднее без нуля и медиану. На сколько изменится среднее при исключении нуля?
3. По ряду 0 · 20 · 18 · 22 · 20 найдите среднее с нулём, условное среднее без нуля и медиану. На сколько изменится среднее при исключении нуля?
4. По ряду 7 · 0 · 8 · 9 · 8 найдите среднее с нулём, условное среднее без нуля и медиану. На сколько изменится среднее при исключении нуля?
5. По ряду 0 · 1 · 2 · 2 · 1 найдите среднее с нулём, условное среднее без нуля и медиану. На сколько изменится среднее при исключении нуля?
6. По ряду 0 · 36 · 35 · 34 · 35 найдите среднее с нулём, условное среднее без нуля и медиану. На сколько изменится среднее при исключении нуля?
7. По ряду 3 · 4 · 0 · 5 · 4 найдите среднее с нулём, условное среднее без нуля и медиану. На сколько изменится среднее при исключении нуля?
8. По ряду 0 · 48 · 50 · 52 · 50 найдите среднее с нулём, условное среднее без нуля и медиану. На сколько изменится среднее при исключении нуля?

Уровень 3 — обнаружить ошибки и объяснить решение

1. Ученик для ряда 0, 17, 18, 19, 18 написал: «Среднее 18, потому что нуль не участвует в сумме». Найдите ошибку.
2. Для ряда 0, 25, 25, 24, 26 найдите медиану. Объясните, почему она отличается от среднего.
3. Четыре ненулевых измерения равны 14, 15, 16, 15. В журнал добавили пятое — 0. Найдите средние до и после.
4. В таблице пять наблюдений, среди них ровно один нуль. Среднее равно 8. Какова сумма остальных четырёх?
5. В наборе 0, 11, 12, 13, 12 поясните, при каких условиях нуль мог быть подлинным наблюдением.
6. Сравните размах наборов 0, 21, 22, 23, 22 и 20, 21, 22, 23, 22. Для чего полезна такая проверка?
7. Пять результатов: 0, 29, 30, 31, 30. Одно значение по ошибке переписали как 3 вместо 0. Как изменилось среднее?
8. Пять результатов: 0, 10, 11, 12, 12. Можно ли утверждать, что «всякое нулевое значение надо удалить»?

Ключ для самопроверки

Решения к уровню 1

1. Нуль заметно выбивается: остальные значения лежат между 14 и 16. Проверить обстоятельства нулевого наблюдения всё равно полезно.
2. Нуль не следует автоматически считать выбросом: значения невелики или находятся близко к нулю. Проверить обстоятельства нулевого наблюдения всё равно полезно.
3. Нуль заметно выбивается: остальные значения лежат между 12 и 14. Проверить обстоятельства нулевого наблюдения всё равно полезно.
4. Нуль не следует автоматически считать выбросом: значения невелики или находятся близко к нулю. Проверить обстоятельства нулевого наблюдения всё равно полезно.
5. Нуль заметно выбивается: остальные значения лежат между 29 и 32. Проверить обстоятельства нулевого наблюдения всё равно полезно.
6. Нуль не следует автоматически считать выбросом: значения невелики или находятся близко к нулю. Проверить обстоятельства нулевого наблюдения всё равно полезно.
7. Нуль заметно выбивается: остальные значения лежат между 42 и 44. Проверить обстоятельства нулевого наблюдения всё равно полезно.
8. Нуль не следует автоматически считать выбросом: значения невелики или находятся близко к нулю. Проверить обстоятельства нулевого наблюдения всё равно полезно.

Вычисления к уровню 2

1. Сумма 48, наблюдений 5: 48/5 = 48/5. Без нуля 48/4 = 12; разность 12/5. Упорядочив ряд, получаем медиану 12. Исключение допустимо лишь после проверки причины нуля.
2. Сумма 20, наблюдений 5: 20/5 = 4. Без нуля 20/4 = 5; разность 1. Упорядочив ряд, получаем медиану 5. Исключение допустимо лишь после проверки причины нуля.
3. Сумма 80, наблюдений 5: 80/5 = 16. Без нуля 80/4 = 20; разность 4. Упорядочив ряд, получаем медиану 20. Исключение допустимо лишь после проверки причины нуля.
4. Сумма 32, наблюдений 5: 32/5 = 32/5. Без нуля 32/4 = 8; разность 8/5. Упорядочив ряд, получаем медиану 8. Исключение допустимо лишь после проверки причины нуля.
5. Сумма 6, наблюдений 5: 6/5 = 6/5. Без нуля 6/4 = 3/2; разность 3/10. Упорядочив ряд, получаем медиану 1. Исключение допустимо лишь после проверки причины нуля.
6. Сумма 140, наблюдений 5: 140/5 = 28. Без нуля 140/4 = 35; разность 7. Упорядочив ряд, получаем медиану 35. Исключение допустимо лишь после проверки причины нуля.
7. Сумма 16, наблюдений 5: 16/5 = 16/5. Без нуля 16/4 = 4; разность 4/5. Упорядочив ряд, получаем медиану 4. Исключение допустимо лишь после проверки причины нуля.
8. Сумма 200, наблюдений 5: 200/5 = 40. Без нуля 200/4 = 50; разность 10. Упорядочив ряд, получаем медиану 50. Исключение допустимо лишь после проверки причины нуля.

Разбор уровня 3

1. Сумма 72, но пять наблюдений: 72/5 = 14,4; 18 получилось бы при делении на 4. Нулевое наблюдение входит в количество.
2. По порядку 0, 24, 25, 25, 26; медиана 25. Среднее (0+25+25+24+26)/5 = 20. Нуль снижает среднее, но не центральное значение 25.
3. До 60/4 = 15, после 60/5 = 12. Разность 3; нельзя говорить, что сами четыре измерения уменьшились.
4. Сумма всех 5·8 = 40, прибавка нуля ничего не меняет; сумма ненулевых равна 40.
5. Если измеряли, например, число проданных билетов за день и в один из дней продаж не было, нуль реален. Выброс не обязательно ошибка.
6. Размах первого 23−0=23, второго 23−20=3. Нуль резко увеличивает размах — повод выяснить причину.
7. Исходная сумма 120, среднее 24. Новая сумма 123, среднее 24,6. Изменение +0,6; исправление одной ячейки влияет на среднее.
8. Нет. Нуль явно требует обсуждения, но решение об исключении опирается на смысл измерения и сведения об ошибке, а не только на величину.

Вывод: необычная величина, нулевая запись и ошибочное наблюдение — три разных понятия. Сначала выясняем контекст, затем при необходимости сравниваем показатели с записью и без неё.

Как не принять необычное значение за ошибку

Рассмотрим дневник посещений кружка. Четыре дня подряд пришло 19, 21, 20 и 20 учеников; в пятницу записано 0. Среднее за пять дней равно (19 + 21 + 20 + 20 + 0) : 5 = 16. Если выяснится, что в пятницу занятия отменили, нуль окажется точным наблюдением для статистики посещений, хотя и относится к особому дню. Для оценки обычной посещаемости четырёх состоявшихся занятий уместна другая выборка: 80 : 4 = 20. Здесь два разных вопроса дают два правильных, но разных ответа.

Теперь пусть та же запись 0 появилась из-за того, что измерительный прибор не включили. В таком случае это не измеренная величина, а пропуск, который ошибочно обозначили нулём. Среднее по четырём настоящим измерениям будет рассчитано правильно только после исправления журнала. Поэтому полезно писать рядом с числом пояснение: «реальный нуль», «измерения не было» или «требуется проверка».

О границах способа: сравнение нуля с соседними значениями помогает заметить подозрительную запись, но не является строгим универсальным статистическим тестом. Если все остальные наблюдения колеблются между 1 и 3, нуль может быть обычной частью разброса. Если вокруг него стоят только числа от 47 до 50, он намного заметнее. В обоих случаях смысл показателя важнее формального требования «убрать самое маленькое число».

Что проверять в собственном решении: сначала пересчитайте количество наблюдений; затем отдельно сумму; после деления проверьте, находится ли среднее между наименьшим и наибольшим числом. Если среднее оказалось больше максимума исходного ряда, вычисление точно ошибочно. Медиану проверяйте только после упорядочения ряда, не по исходному порядку строк таблицы.

Дополнительное рассуждение о среднем и медиане

Набор 0, 40, 41, 39, 40 имеет сумму 160. Среднее пяти значений 32, но медиана равна 40. Если просто взять «самое часто встречающееся число», ответ тоже 40, однако такое совпадение необязательно: мода, среднее и медиана отвечают на разные вопросы. Для проверки среднего отдельно оцените границы: оно не должно быть меньше 0 или больше 41. При объяснении выброса сравнивайте нуль с обычным диапазоном остальных четырёх значений.

Во всех примерах важно различать вопрос «каково среднее всех пяти записанных наблюдений?» и вопрос «каково среднее четырёх обычных измерений?». В первом случае даже необычный нуль учитывается обязательно. Во втором случае необходимо заранее обосновать критерий, по которому исключено одно измерение. Если критерий выбран только после получения неудобного ответа, сравнение становится недостоверным.

Полезная проверка медианы для пяти чисел: после сортировки найдите третье по порядку число. Для шести чисел нужно взять среднее третьего и четвёртого. Нуль влияет на место элементов в упорядоченном ряду, но не всегда меняет центральное значение. Эти особенности помогают школьнику не делать необоснованный вывод только по одному числу.