Обратная задача на начальный капитал при сложном проценте: задачи и решения для 11 класса

Углублённый практикум — 11 класс. Задача обратная росту вклада: известна сумма, которая должна получиться через несколько периодов, нужно вычислить стартовый капитал до начисления процентов. Процент берётся от текущего баланса, проценты капитализируются один раз за указанный период; нет взносов, снятий, комиссий или налогов. Чтобы точно достичь заданной суммы при ограничении вклада целыми копейками, результат в конце вычисления округляют вверх до ближайшей копейки. Это математическая модель, а не реальная гарантия дохода.

Обратная формула и условия применимости

Прямая формула: F=P(1+r)ⁿ. Если известны F, r, n, то P=F/(1+r)ⁿ. В задачах F>0, n — неотрицательное целое число периодов, а 1+r>0 (в наших заданиях r>0). Если r — ставка за месяц, n измеряется месяцами; если ставка за год — годами. Месячные и годовые ставки нельзя подставлять в одну формулу без согласования периодов. При n=0 P=F; при r=0 P=F.

Пограничные случаи

1. Почему нельзя вычитать просто n·r процентов из конечной суммы? В каждом периоде проценты начисляются на новый баланс, а не на первоначальную базу; обратная операция — деление на множитель роста в степени n.
2. Допустим, сумма должна удвоиться. При положительной ставке начальный вклад обязан быть меньше будущей суммы. Если полученный P больше F, знак или операция перепутаны.
3. Если цель 0 руб. и r>−100%, стартовый капитал тоже 0, но в учебных задачах о реальном положительном вкладе принимаем P>0 и F>0.
4. Если задана номинальная годовая ставка 12% с ежемесячной капитализацией, используйте месячную ставку 1% и число месяцев. В этих карточках ставка уже дана на единичный период.

Короткий пример для разминки

Через 2 года нужно иметь 121 000 руб. при 10% годовых с ежегодной капитализацией. P=121 000/(1,1)²=100 000 руб. Проверка: 100 000·1,1=110 000; далее 110 000·1,1=121 000. Неверное вычитание «20% от цели» дало бы 96 800 руб.

Уровень I — восемь базовых заданий

1. 1. Нужная конечная сумма 140 000,00 руб. через 2 лет; начисление каждый год, ставка 5% за год. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
2. 2. Нужная конечная сумма 85 000,00 руб. через 1 лет; начисление каждый год, ставка 10% за год. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
3. 3. Нужная конечная сумма 320 000,00 руб. через 3 лет; начисление каждый год, ставка 8% за год. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
4. 4. Нужная конечная сумма 260 000,00 руб. через 4 лет; начисление каждый год, ставка 4% за год. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
5. 5. Нужная конечная сумма 75 000,00 руб. через 2 лет; начисление каждый год, ставка 12% за год. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
6. 6. Нужная конечная сумма 195 000,00 руб. через 5 лет; начисление каждый год, ставка 6% за год. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
7. 7. Нужная конечная сумма 180 000,00 руб. через 2 лет; начисление каждый год, ставка 15% за год. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
8. 8. Нужная конечная сумма 50 000,00 руб. через 7 лет; начисление каждый год, ставка 3% за год. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______

Уровень II — восемь заданий с месячной ставкой

1. 9. Нужная конечная сумма 125 000,00 руб. через 12 месяцев; начисление каждый месяц, ставка 1% за месяц. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
2. 10. Нужная конечная сумма 99 000,00 руб. через 10 месяцев; начисление каждый месяц, ставка 0,5% за месяц. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
3. 11. Нужная конечная сумма 230 000,00 руб. через 6 месяцев; начисление каждый месяц, ставка 1,5% за месяц. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
4. 12. Нужная конечная сумма 420 000,00 руб. через 9 месяцев; начисление каждый месяц, ставка 0,75% за месяц. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
5. 13. Нужная конечная сумма 68 000,00 руб. через 8 месяцев; начисление каждый месяц, ставка 2% за месяц. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
6. 14. Нужная конечная сумма 175 000,00 руб. через 12 месяцев; начисление каждый месяц, ставка 1,25% за месяц. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
7. 15. Нужная конечная сумма 300 000,00 руб. через 18 месяцев; начисление каждый месяц, ставка 0,25% за месяц. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
8. 16. Нужная конечная сумма 90 000,00 руб. через 5 месяцев; начисление каждый месяц, ставка 1,75% за месяц. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______

Уровень III — восемь задач на длительные сроки

1. 17. Нужная конечная сумма 500 000,00 руб. через 6 лет; начисление каждый год, ставка 5% за год. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
2. 18. Нужная конечная сумма 240 000,00 руб. через 8 лет; начисление каждый год, ставка 7% за год. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
3. 19. Нужная конечная сумма 180 000,00 руб. через 4 лет; начисление каждый год, ставка 12% за год. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
4. 20. Нужная конечная сумма 110 000,00 руб. через 15 лет; начисление каждый год, ставка 2% за год. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
5. 21. Нужная конечная сумма 375 000,00 руб. через 24 месяцев; начисление каждый месяц, ставка 0,8% за месяц. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
6. 22. Нужная конечная сумма 210 000,00 руб. через 20 месяцев; начисление каждый месяц, ставка 1,2% за месяц. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
7. 23. Нужная конечная сумма 625 000,00 руб. через 36 месяцев; начисление каждый месяц, ставка 0,6% за месяц. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______
8. 24. Нужная конечная сумма 96 000,00 руб. через 15 месяцев; начисление каждый месяц, ставка 1,6% за месяц. Найдите необходимый начальный капитал без пополнений. Расчёт: ______

Ключ: базовый уровень

1. Множитель роста (1+5/100)²≈1.10250000; точный P=140 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 126 984,13 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 140 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
2. Множитель роста (1+10/100)¹≈1.10000000; точный P=85 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 77 272,73 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 85 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
3. Множитель роста (1+8/100)³≈1.25971200; точный P=320 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 254 026,32 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 320 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
4. Множитель роста (1+4/100)⁴≈1.16985856; точный P=260 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 222 249,09 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 260 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
5. Множитель роста (1+12/100)²≈1.25440000; точный P=75 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 59 789,55 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 75 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
6. Множитель роста (1+6/100)⁵≈1.33822558; точный P=195 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 145 715,35 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 195 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
7. Множитель роста (1+15/100)²≈1.32250000; точный P=180 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 136 105,87 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 180 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
8. Множитель роста (1+3/100)⁷≈1.22987387; точный P=50 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 40 654,58 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 50 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.

Ключ: месячная капитализация

1. Множитель роста (1+1/100)¹²≈1.12682503; точный P=125 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 110 931,16 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 125 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
2. Множитель роста (1+0,5/100)¹⁰≈1.05114013; точный P=99 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 94 183,45 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 99 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
3. Множитель роста (1+1,5/100)⁶≈1.09344326; точный P=230 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 210 344,71 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 230 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
4. Множитель роста (1+0,75/100)⁹≈1.06956084; точный P=420 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 392 684,54 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 420 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
5. Множитель роста (1+2/100)⁸≈1.17165938; точный P=68 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 58 037,35 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 68 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
6. Множитель роста (1+1,25/100)¹²≈1.16075452; точный P=175 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 150 764,01 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 175 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
7. Множитель роста (1+0,25/100)¹⁸≈1.04596912; точный P=300 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 286 815,36 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 300 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
8. Множитель роста (1+1,75/100)⁵≈1.09061656; точный P=90 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 82 522,13 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 90 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.

Ключ: длительные сроки

1. Множитель роста (1+5/100)⁶≈1.34009564; точный P=500 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 373 107,70 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 500 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
2. Множитель роста (1+7/100)⁸≈1.71818618; точный P=240 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 139 682,19 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 240 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
3. Множитель роста (1+12/100)⁴≈1.57351936; точный P=180 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 114 393,26 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 180 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
4. Множитель роста (1+2/100)¹⁵≈1.34586834; точный P=110 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 81 731,63 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 110 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
5. Множитель роста (1+0,8/100)²⁴≈1.21074524; точный P=375 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 309 726,60 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 375 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
6. Множитель роста (1+1,2/100)²⁰≈1.26943436; точный P=210 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 165 428,01 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 210 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
7. Множитель роста (1+0,6/100)³⁶≈1.24030161; точный P=625 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 503 909,70 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 625 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.
8. Множитель роста (1+1,6/100)¹⁵≈1.26883637; точный P=96 000,00/множитель. Минимальная сумма в копейках при округлении вверх: 75 659,88 руб.. Подстановка даёт сумму не меньше 96 000,00 руб., на 0,01 руб. меньший вклад уже не достигает цели.

Дополнительная проверка пограничных случаев

Для любой пары F>0, r>0 итоговое выражение 0<P<F. Поскольку возведение в положительную степень сохраняет положительность, посторонних отрицательных «корней» нет. Если задача задана с обязательной минимальной суммой вклада в целых рублях, денежное округление до копеек необходимо дополнить округлением вверх до целого рубля, чтобы гарантированно набрать цель. В приведённых заданиях капитал указывается в целых копейках, поэтому используется минимальное округление вверх до копейки.

Оценивание: на каждую задачу 1 балл за выделение P из исходной формулы, 1 за правильный период и ставку, 1 за вычисление суммы, 1 за обратную проверку. Всего 96 баллов. Округлённый вверх до копейки P может дать итог немного выше цели: это необходимо для гарантированного достижения заданной суммы при оплате в копейках; исходная неокруглённая формула даёт цель точно.