Описанная окружность треугольника и радиус — упражнения для печати, 9 класс

9 класс · распечатка · 18 упражнений. В описанной окружности все вершины треугольника лежат на окружности, а её центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Эта карточка учит выбирать удобный способ нахождения радиуса R: по гипотенузе, по стороне равностороннего треугольника либо через стороны и площадь.

От частного случая к формуле

Для прямоугольного треугольника R = c/2, где c — гипотенуза: она является диаметром описанной окружности. Для равностороннего треугольника со стороной a радиус равен R = a√3/3. Для произвольного треугольника со сторонами a,b,c и площадью S используйте R = abc/(4S). Последняя формула допустима для невырожденного треугольника с S > 0.

Лист 1. Быстрые числовые задачи

1. Прямоугольный треугольник имеет катеты 3 и 4 см и гипотенузу 5 см. Найдите радиус описанной окружности.
2. Прямоугольный треугольник имеет катеты 5 и 12 см и гипотенузу 13 см. Найдите радиус описанной окружности.
3. Прямоугольный треугольник имеет катеты 8 и 15 см и гипотенузу 17 см. Найдите радиус описанной окружности.
4. Прямоугольный треугольник имеет катеты 7 и 24 см и гипотенузу 25 см. Найдите радиус описанной окружности.
5. Прямоугольный треугольник имеет катеты 9 и 12 см и гипотенузу 15 см. Найдите радиус описанной окружности.

Если задан прямоугольный треугольник, сначала подчеркните гипотенузу. Ищите её среди чисел, не ориентируясь на рисунок: схематичное изображение может быть не в масштабе. Половина гипотенузы — достаточно сильный контроль для первых пяти задач; лишние вычисления площадей здесь не нужны.

Лист 2. Равные стороны, другой способ

6. Равносторонний треугольник имеет сторону 3√3 см. Найдите R.
7. Равносторонний треугольник имеет сторону 6√3 см. Найдите R.
8. Равносторонний треугольник имеет сторону 9 см. Найдите R.
9. Равносторонний треугольник имеет сторону 12 см. Найдите R.
10. Равносторонний треугольник имеет сторону 6 см. Найдите R.

Для равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают, но сами радиусы различаются: R вдвое больше r. В этой серии используйте именно R = a√3/3. Оставляйте точные ответы с корнями, не заменяйте √3 грубым округлением.

Лист 3. Универсальная формула

11. Стороны треугольника 13, 14 и 15 см, площадь 84 см². Вычислите R.
12. Равнобедренный треугольник имеет стороны 5, 5, 6 см и площадь 12 см². Найдите R.
13. Стороны треугольника 10, 10, 12 см, площадь 48 см². Найдите R.
14. Стороны треугольника 4, 13 и 15 см, площадь 24 см². Найдите R.

У задач 11–14 площадь уже дана в условии; не нужно тратить время на её повторное вычисление через высоту. Чтобы не ошибиться в знаменателе, напишите произведение 4S отдельным шагом. После дробного сокращения убедитесь, что ответ положительный и имеет размерность сантиметров. При желании вычислите приближённую десятичную величину, но для проверки достаточно точной дроби.

Лист 4. Обратные задания

15. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см. Найдите R и укажите положение центра описанной окружности.
16. Где расположен центр описанной окружности у остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников?
17. У равностороннего треугольника радиус описанной окружности 6 см. Найдите сторону треугольника.
18. У прямоугольного треугольника радиус описанной окружности 10 см. Найдите длину гипотенузы.

Проверка перед сдачей

Подпишите возле каждой формулы, какой радиус вы находите: r вписанной или R описанной окружности. Не существует одного общего правила «радиус всегда половина стороны»: половиной гипотенузы он является только в прямоугольном треугольнике. Если дана площадь произвольного треугольника, удобнее универсальное соотношение abc/(4S). Для проверки общей формулы на примере треугольника 6–8–10 с площадью 24 получите 6·8·10/(4·24)=5, то есть ту же половину гипотенузы.

Для дополнительной проверки возьмите прямоугольный треугольник и примените обе формулы: R = c/2 и R = abc/(4S). Подставив S = ab/2, получите abc/(4 · ab/2) = c/2. Это полезное преобразование показывает согласованность формул. На чертеже выделите окружность, проходящую через все вершины: окружность, только касающаяся сторон, называется вписанной, и её радиус здесь не вычисляют. При работе с дробями сначала сократите общий множитель в числителе и знаменателе, затем записывайте итоговую длину в сантиметрах, иначе легко перепутать размерность с площадью.

Ключ и разбор для проверки

Отдельная часть для учителя и самостоятельного контроля. Сначала решите задания без подсказок. При распечатке ученикам можно не включать листы с ответами.

Практика I. Половина гипотенузы

1. R = 5/2 см, поскольку гипотенуза — диаметр и R = 5/2.
2. R = 13/2 см, поскольку гипотенуза — диаметр и R = 13/2.
3. R = 17/2 см, поскольку гипотенуза — диаметр и R = 17/2.
4. R = 25/2 см, поскольку гипотенуза — диаметр и R = 25/2.
5. R = 15/2 см, поскольку гипотенуза — диаметр и R = 15/2.

Практика II. Равносторонние треугольники

6. R = 3 см. Используем R = a√3/3 (после упрощения радикала).
7. R = 6 см. Используем R = a√3/3 (после упрощения радикала).
8. R = 3√3 см. Используем R = a√3/3 (после упрощения радикала).
9. R = 4√3 см. Используем R = a√3/3 (после упрощения радикала).
10. R = 2√3 см. Используем R = a√3/3 (после упрощения радикала).

Практика III. Общая формула

11. 65/8 см: 13·14·15/(4·84) = 2730/336 = 65/8.
12. 25/8 см: 5·5·6/(4·12) = 150/48 = 25/8.
13. 25/4 см: 10·10·12/(4·48) = 1200/192 = 25/4.
14. 65/8 см: 4·13·15/(4·24) = 780/96 = 65/8.

Контроль модели и обратные задачи

15. R = 5 см; центр — середина гипотенузы.
16. У остроугольного внутри, у прямоугольного на середине гипотенузы, у тупоугольного вне треугольника.
17. 6√3 см: из R = a√3/3 следует a = R√3.
18. 20 см, поскольку гипотенуза — диаметр: c = 2R.

Критерии: 1–10 по 1 баллу; 11–14 по 2 балла (правильный выбор формулы и арифметика); 15–18 по 2 балла (ответ и геометрическое объяснение). Итого 26. Если задача 16 вызывает затруднение, постройте серединные перпендикуляры хотя бы к двум сторонам трёх разных треугольников и отметьте положение их пересечения.