Определение числа решений системы при совпадающих уравнениях: тематические карточки для 7 класса

7 класс · Системы уравнений · MATH-1348. Два контрастных варианта по распознаванию совпадающих прямых. В первом нужно доказать пропорциональность уравнений; во втором восстановить недостающий коэффициент, чтобы число решений стало бесконечным.

Общее правило для совпадающих прямых

Если уравнение ax+by=c целиком умножить на одно ненулевое число k, множество его решений не меняется. Система с таким вторым уравнением имеет бесконечно много пар решений, если хотя бы один из коэффициентов a и b ненулевой. Геометрически это одна прямая, записанная дважды.

Нужно сравнивать не только коэффициенты при x и y, но и число справа. Например, 2x+3y=5 и 4x+6y=11 не совпадают, хотя слева второе равенство вдвое больше первого: справа ожидалось 10. При вычитании получится 0=1, то есть решений нет.

Вариант А — сравнение коэффициентов и свободных частей

Для каждого пункта найдите общий множитель. Получите выражение y через x, объясните, почему в действительных числах подходящих пар не одна, а бесконечно много.

1. 2x + 3y = 7; 4x + 6y = 14. Определите число решений и запишите общую формулу для y через x.
2. 3x − 2y = 11; 9x − 6y = 33. Определите число решений и запишите общую формулу для y через x.
3. -2x + 5y = -8; 4x − 10y = 16. Определите число решений и запишите общую формулу для y через x.
4. 4x + 3y = 15; -12x − 9y = -45. Определите число решений и запишите общую формулу для y через x.
5. 5x − 4y = 9; 20x − 16y = 36. Определите число решений и запишите общую формулу для y через x.
6. -3x + 7y = -12; -6x + 14y = -24. Определите число решений и запишите общую формулу для y через x.
7. 6x − 5y = 17; -12x + 10y = -34. Определите число решений и запишите общую формулу для y через x.
8. -4x + 6y = 13; -12x + 18y = 39. Определите число решений и запишите общую формулу для y через x.
9. 7x + 2y = -10; -28x − 8y = 40. Определите число решений и запишите общую формулу для y через x.

Вариант Б — восстановление свободного члена

Здесь в правой части второго уравнения стоит пропуск □. Если заполнить его неверно, вместо совпадающих прямых получатся разные параллельные. Следите за отрицательными множителями.

10. 4x − 5y = 9; 12x − 15y = □. Подберите □ для совпадения прямых. Сколько решений станет у системы?
11. -3x + 4y = 8; 6x − 8y = □. Подберите □ для совпадения прямых. Сколько решений станет у системы?
12. 5x + 2y = -6; 20x + 8y = □. Подберите □ для совпадения прямых. Сколько решений станет у системы?
13. 2x − 7y = 11; 4x − 14y = □. Подберите □ для совпадения прямых. Сколько решений станет у системы?
14. -4x + 3y = 5; 12x − 9y = □. Подберите □ для совпадения прямых. Сколько решений станет у системы?
15. 7x + 6y = -7; 14x + 12y = □. Подберите □ для совпадения прямых. Сколько решений станет у системы?
16. 3x − 4y = 14; 15x − 20y = □. Подберите □ для совпадения прямых. Сколько решений станет у системы?
17. -5x + 2y = 13; 10x − 4y = □. Подберите □ для совпадения прямых. Сколько решений станет у системы?
18. 6x − 3y = -9; 18x − 9y = □. Подберите □ для совпадения прямых. Сколько решений станет у системы?

Ключ: вариант А

1. Бесконечно много. Все коэффициенты второго уравнения в 2 раз больше соответствующих первого. Исключение даёт 0=0. Общая формула y=(7−(2)x)/(3), где x — любое действительное число.
2. Бесконечно много. Все коэффициенты второго уравнения в 3 раз больше соответствующих первого. Исключение даёт 0=0. Общая формула y=(11−(3)x)/(-2), где x — любое действительное число.
3. Бесконечно много. Все коэффициенты второго уравнения в -2 раз больше соответствующих первого. Исключение даёт 0=0. Общая формула y=(-8−(-2)x)/(5), где x — любое действительное число.
4. Бесконечно много. Все коэффициенты второго уравнения в -3 раз больше соответствующих первого. Исключение даёт 0=0. Общая формула y=(15−(4)x)/(3), где x — любое действительное число.
5. Бесконечно много. Все коэффициенты второго уравнения в 4 раз больше соответствующих первого. Исключение даёт 0=0. Общая формула y=(9−(5)x)/(-4), где x — любое действительное число.
6. Бесконечно много. Все коэффициенты второго уравнения в 2 раз больше соответствующих первого. Исключение даёт 0=0. Общая формула y=(-12−(-3)x)/(7), где x — любое действительное число.
7. Бесконечно много. Все коэффициенты второго уравнения в -2 раз больше соответствующих первого. Исключение даёт 0=0. Общая формула y=(17−(6)x)/(-5), где x — любое действительное число.
8. Бесконечно много. Все коэффициенты второго уравнения в 3 раз больше соответствующих первого. Исключение даёт 0=0. Общая формула y=(13−(-4)x)/(6), где x — любое действительное число.
9. Бесконечно много. Все коэффициенты второго уравнения в -4 раз больше соответствующих первого. Исключение даёт 0=0. Общая формула y=(-10−(7)x)/(2), где x — любое действительное число.

Ключ: вариант Б

10. □=27; решений бесконечно много. Второе уравнение получено умножением всех частей первого на 3, поэтому правая часть должна равняться 3·(9)=27. После исключения 0=0.
11. □=-16; решений бесконечно много. Второе уравнение получено умножением всех частей первого на -2, поэтому правая часть должна равняться -2·(8)=-16. После исключения 0=0.
12. □=-24; решений бесконечно много. Второе уравнение получено умножением всех частей первого на 4, поэтому правая часть должна равняться 4·(-6)=-24. После исключения 0=0.
13. □=22; решений бесконечно много. Второе уравнение получено умножением всех частей первого на 2, поэтому правая часть должна равняться 2·(11)=22. После исключения 0=0.
14. □=-15; решений бесконечно много. Второе уравнение получено умножением всех частей первого на -3, поэтому правая часть должна равняться -3·(5)=-15. После исключения 0=0.
15. □=-14; решений бесконечно много. Второе уравнение получено умножением всех частей первого на 2, поэтому правая часть должна равняться 2·(-7)=-14. После исключения 0=0.
16. □=70; решений бесконечно много. Второе уравнение получено умножением всех частей первого на 5, поэтому правая часть должна равняться 5·(14)=70. После исключения 0=0.
17. □=-26; решений бесконечно много. Второе уравнение получено умножением всех частей первого на -2, поэтому правая часть должна равняться -2·(13)=-26. После исключения 0=0.
18. □=-27; решений бесконечно много. Второе уравнение получено умножением всех частей первого на 3, поэтому правая часть должна равняться 3·(-9)=-27. После исключения 0=0.

Взаимная проверка двух методов

Первый ученик может доказать равенство прямых, показав общий ненулевой множитель всех трёх частей. Второй — умножить первое уравнение на этот множитель и вычесть из второго. Если получается 0=0, обе записи согласованы. Если остаётся 0 = ненулевое число, пропущенная свободная часть восстановлена неверно.

Контрольная подстановка одной пары полезна как обнаружение арифметической ошибки, но не заменяет доказательства бесконечности решений. Две пересекающиеся прямые тоже имеют одну общую пару, и эта пара удовлетворяет обеим строкам. Только доказательство полного совпадения уравнений гарантирует, что каждая точка первой прямой лежит на второй.

Оценивайте каждый ответ по двум признакам: назван правильный множитель и сделан обоснованный вывод о числе решений. Во втором варианте дополнительно требуется точная правая часть; даже ошибка на единицу превращает совпадающую систему в систему без решений. Это особенно важно в заданиях с отрицательным множителем.