Определение числа точек пересечения при касании графиков — мини-практикум с ответами, 9 класс

Алгебра · 9 класс · MATH-1612

Узнайте, когда два графика касаются, пересекаются дважды или вообще не имеют общих точек. Отдельно разберём ловушку: одна общая точка не всегда означает касание.

Три контрольных факта

Чтобы найти общие точки графиков y = f(x) и y = g(x), решаем уравнение f(x) = g(x). Если после приведения получается квадратное уравнение Ax² + Bx + C = 0 при A ≠ 0, то D = B² − 4AC определяет количество различных общих точек: D > 0 — две; D = 0 — одна (касание в рассмотренных параболических случаях); D < 0 — ни одной.

Но если квадратные члены сокращаются и остаётся линейное уравнение, одна общая точка обычно является пересечением, а не касанием. Если разность функций тождественно нулевая, графики совпадают и общих точек бесконечно много.

Вариант А — парабола и прямая (8 заданий)

Для каждого номера найдите число общих точек. В случае одной точки выясните, касание ли это. Обязательно запишите координаты точек, если они существуют.

1. 1. Парабола y = (x)² + 1; прямая y = + 4x−3. Сколько точек пересечения и какие их координаты?
2. 2. Парабола y = (x − 1)² − 2; прямая y = −2x + 3. Сколько точек пересечения и какие их координаты?
3. 3. Парабола y = (x + 1)² + 2; прямая y = + 4x + 1. Сколько точек пересечения и какие их координаты?
4. 4. Парабола y = −(x − 2)² + 3; прямая y = + 4x−1. Сколько точек пересечения и какие их координаты?
5. 5. Парабола y = −2(x)² + 4; прямая y = −4x−2. Сколько точек пересечения и какие их координаты?
6. 6. Парабола y = −(x + 2)² + 1; прямая y = −2x + 2. Сколько точек пересечения и какие их координаты?
7. 7. Парабола y = 2(x − 1)²; прямая y = + 4x−4. Сколько точек пересечения и какие их координаты?
8. 8. Парабола y = 3(x + 1)²; прямая y = + 6x. Сколько точек пересечения и какие их координаты?

Вариант Б — две параболы и пограничный случай (8 заданий)

1. 9. f(x) = 2x² + x + 1; g(x) = x² + 5x−3. Найдите число различных точек и укажите, касаются ли графики.
2. 10. f(x) = 3x²−x + 2; g(x) = x² + 3x + 8. Найдите число различных точек и укажите, касаются ли графики.
3. 11. f(x) = 2x² + 1; g(x) = x²−2x−1. Найдите число различных точек и укажите, касаются ли графики.
4. 12. f(x) = −2x² + 2x + 1; g(x) = −x² + 2x + 1. Найдите число различных точек и укажите, касаются ли графики.
5. 13. f(x) = −3x² + x + 2; g(x) = −x²−3x−4. Найдите число различных точек и укажите, касаются ли графики.
6. 14. f(x) = 3x² + 2x−2; g(x) = x²−6x−12. Найдите число различных точек и укажите, касаются ли графики.
7. 15. f(x) = 4x²−2x; g(x) = 2x² + 10x−16. Найдите число различных точек и укажите, касаются ли графики.
8. 16. f(x) = 2x² − x + 3; g(x) = 2x² − 2x + 5. Две параболы имеют одинаковый коэффициент при x². Ровно одна общая точка: обязательно ли это касание?

Ответы с проверкой

Вариант А

1. 1. После приравнивания: 1(x − (2))² = 0. Одно решение x = 2: графики касаются. Координаты: (2; 5).
2. 2. После приравнивания: 1(x − (0))² = 4. Два корня x = −2 и x = 2: два пересечения. Координаты: (−2; 7), (2; −1).
3. 3. После приравнивания: 1(x − (1))² = −1. У действительных чисел решений нет, общих точек нет.
4. 4. После приравнивания: −1(x − (0))² = 0. Одно решение x = 0: графики касаются. Координаты: (0; −1).
5. 5. После приравнивания: −2(x − (1))² = −8. Два корня x = −1 и x = 3: два пересечения. Координаты: (−1; 2), (3; −14).
6. 6. После приравнивания: −1(x − (−1))² = 4. У действительных чисел решений нет, общих точек нет.
7. 7. После приравнивания: 2(x − (2))² = 2. Два корня x = 1 и x = 3: два пересечения. Координаты: (1; 0), (3; 8).
8. 8. После приравнивания: 3(x − (0))² = −3. У действительных чисел решений нет, общих точек нет.

Вариант Б

1. 9. Разность f(x) − g(x) = 1(x − (2))² − (0). Получаем одна точка касания: (2; 11).
2. 10. Разность f(x) − g(x) = 2(x − (1))² − (8). Получаем две точки пересечения: (−1; 6), (3; 26).
3. 11. Разность f(x) − g(x) = 1(x − (−1))² − (−1). Получаем общих точек нет.
4. 12. Разность f(x) − g(x) = −1(x − (0))² − (0). Получаем одна точка касания: (0; 1).
5. 13. Разность f(x) − g(x) = −2(x − (1))² − (−8). Получаем две точки пересечения: (−1; −2), (3; −22).
6. 14. Разность f(x) − g(x) = 2(x − (−2))² − (−2). Получаем общих точек нет.
7. 15. Разность f(x) − g(x) = 2(x − (3))² − (2). Получаем две точки пересечения: (2; 12), (4; 56).
8. 16. f − g = x − 2. Следовательно, x = 2, y = 2·4 − 2 + 3 = 9. Общая точка (2; 9), но это не касание: разность x − 2 меняет знак при переходе через x = 2, кривые пересекаются.

Взаимная проверка

Поменяйтесь тетрадями: партнёр должен объяснить, почему выбранный знак выражения (x − t)² делает уравнение разрешимым или невозможным. Если найдено два различных значения x, убедитесь, что они действительно дают одинаковые значения y у обеих функций.

Не подменяйте число корней числом графиков. Два уравнения могут определять две параболы, но пересечений может не быть. При совпадении двух графиков нельзя писать «две точки»: точек бесконечно много.

Проверка на касание: после переноса в одну сторону разность функций при касании имеет вид A(x − t)², A ≠ 0, и не меняет знак около t. В задаче 16 разность линейна и меняет знак, поэтому графики проходят друг через друга, хотя общая точка одна.

Карточка MATH-1612. Все задачи и решения находятся на этой странице; для печати используйте стандартную печать браузера.