Определение достаточного условия для геометрических признаков — проверочная работа по математике, 7 класс

Начните с неверного доказательства

«Площадь двух треугольников одинакова, значит, они равны». Это рассуждение неверно: равная площадь не устанавливает равенство соответствующих сторон и углов. Контрпример: прямоугольные треугольники с катетами 3 и 8 см и 4 и 6 см.

Проверочная работа посвящена не вычислению периметра и площади, а оценке логического перехода «условие ⇒ геометрический вывод». Достаточный признак позволяет сделать заключение при выполнении всех его предпосылок. Если предпосылок мало, найдите две разные конфигурации, в которых они сохраняются, но вывод меняется. Именно так строят контрпример.

Пять типичных ошибок в доказательствах

1. Подмена равенства площадей равенством треугольников: не указаны соответствующие стороны или углы.
2. Применение признака по двум сторонам, когда угол между ними неизвестен.
3. Смешение подобия и равенства: одинаковые углы допускают изменение масштаба.
4. Пропуск условия «в одной плоскости» при рассуждении о параллельных прямых.
5. Утверждение, что смежные углы равны только потому, что их сумма 180°.

Исправьте 16 рассуждений

1. «У двух треугольников равны площади, значит, треугольники равны». Достаточно ли условие?
2. «У двух треугольников равны все три соответствующие стороны, следовательно, они равны».
3. «У двух треугольников есть по стороне длиной 6 см и по углу 50°, значит, они равны».
4. «Если два треугольника имеют по две стороны 5 и 7 см, то они равны без дополнительных условий».
5. «У двух треугольников равны две стороны и угол между ними. Этого достаточно».
6. «У двух треугольников равны все углы, поэтому они обязательно равны».
7. «При пересечении прямых один угол 90°. Значит, прямые перпендикулярны».
8. «Если две прямые перпендикулярны третьей, они параллельны». Уточните условие.
9. «Равные накрест лежащие углы при одной секущей доказывают параллельность прямых».
10. «Смежные углы в сумме равны 180°, следовательно, они равны друг другу».
11. «Если в треугольнике две стороны по 8 см, то треугольник равнобедренный».
12. «Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон параллельна, то это параллелограмм».
13. «Если у четырёхугольника обе пары противоположных сторон равны, то он параллелограмм».
14. «Равный периметр двух треугольников доказывает их равенство».
15. «В треугольнике сторона и два прилежащих к ней угла соответственно равны стороне и углам другого треугольника».
16. «Равенство одного угла по 60° в двух треугольниках означает, что оба равносторонние».

Ключ с доказательствами и контрпримерами

1. Нет. Прямоугольные треугольники с катетами 3 и 8 и с катетами 4 и 6 имеют площадь 12 см², но разные длины сторон. Площадь не задаёт форму.
2. Верно: признак равенства по трём сторонам. Важно сравнивать именно соответствующие стороны.
3. Недостаточно. Одной стороны и одного угла мало: остальные стороны могут различаться. Нужен полноценный признак равенства.
4. Недостаточно: угол между сторонами может быть разным, и третья сторона изменится. Достаточно знать равенство углов между соответствующими сторонами.
5. Да, первый признак равенства треугольников (две стороны и угол между ними). Угол не должен быть произвольным третьим углом.
6. Нет. Треугольники с сторонами 3,4,5 и 6,8,10 имеют одинаковые углы, но различный размер: это подобие, а не равенство.
7. Да. Соседний угол дополняет 90° до 180°, значит он тоже 90°. Пересекающиеся прямые образуют прямые углы.
8. В одной плоскости — да. Две различные прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу. Указание плоскости исключает неоднозначность пространственного случая.
9. Да, это признак параллельности при пересечении двух прямых одной секущей. Проверять надо именно накрест лежащие углы в соответствующей паре.
10. Нет. Смежные углы могут быть 40° и 140°. Для равенства нужно дополнительное условие, тогда оба по 90°.
11. Да: равенство двух сторон — определяющее достаточное условие равнобедренного треугольника.
12. Нет: у трапеции может быть лишь одна пара параллельных сторон. Достаточно иметь обе пары противоположных сторон параллельными.
13. Да, это признак параллелограмма; равенство одной пары само по себе не является достаточным условием.
14. Нет. Треугольники со сторонами 3,4,5 и 4,4,4 имеют периметр 12, но не равны.
15. Это достаточное условие равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам.
16. Нет: угол 60° может быть и в неравностороннем треугольнике. Для равностороннего достаточно равенства всех трёх сторон, либо всех трёх углов по 60°.

Проверьте решения самостоятельно: к пунктам 1, 3, 4, 6, 10, 12, 14 и 16 требуется контрпример либо дополнительное условие; к остальным — название корректного признака. Для каждого верного обоснования отведите 1 балл, отдельно отмечая, что ответ «неверно» без объяснения не считается доказательством. В пунктах с треугольниками полезно делать маленький набросок, но не измерять по нему углы: чертёж лишь иллюстрирует уже доказанное.