Определение достаточного условия для свойств чётных чисел — задачи с решениями для 7 класса

7 класс · мини-тест на достаточное условие чётности. Во всех вопросах n — произвольное целое число. Нужно решить, гарантирует ли предложенное условие, что n чётно. Слово «достаточное» означает: как только условие выполнено, заключение обязательно истинно. При этом само условие не обязано выполняться для каждого чётного числа. Тест рассчитан на объяснение и проверку примерами, а не на угадывание буквы ответа.

Перед началом: два разных вопроса

Высказывание «n кратно четырём» достаточно для чётности: n=4k, значит n=2(2k). Обратное неверно — например, n=6 чётно, но на 4 не делится. А условие «n положительно» недостаточно: число 3 положительно, но нечётно. Для каждого задания отделяйте направление «если выполнено условие, то n чётно» от обратного «если n чётно, то условие выполнено». Это разные утверждения.

14 вопросов · каждый по 1 баллу

1. Достаточно ли условия «Число n делится на 4.», чтобы заключить, что n — чётное целое число? Ответьте «да» или «нет» и подтвердите ответ.
2. Достаточно ли условия «Число n делится на 3.», чтобы заключить, что n — чётное целое число? Ответьте «да» или «нет» и подтвердите ответ.
3. Достаточно ли условия «n — квадрат целого числа.», чтобы заключить, что n — чётное целое число? Ответьте «да» или «нет» и подтвердите ответ.
4. Достаточно ли условия «Число n+1 нечётно.», чтобы заключить, что n — чётное целое число? Ответьте «да» или «нет» и подтвердите ответ.
5. Достаточно ли условия «Число n+2 чётно.», чтобы заключить, что n — чётное целое число? Ответьте «да» или «нет» и подтвердите ответ.
6. Достаточно ли условия «Квадрат n² чётен.», чтобы заключить, что n — чётное целое число? Ответьте «да» или «нет» и подтвердите ответ.
7. Достаточно ли условия «n² делится на 4.», чтобы заключить, что n — чётное целое число? Ответьте «да» или «нет» и подтвердите ответ.
8. Достаточно ли условия «n больше ста.», чтобы заключить, что n — чётное целое число? Ответьте «да» или «нет» и подтвердите ответ.
9. Достаточно ли условия «n кратно десяти.», чтобы заключить, что n — чётное целое число? Ответьте «да» или «нет» и подтвердите ответ.
10. Достаточно ли условия «n неотрицательно.», чтобы заключить, что n — чётное целое число? Ответьте «да» или «нет» и подтвердите ответ.
11. Достаточно ли условия «Число n−1 нечётно.», чтобы заключить, что n — чётное целое число? Ответьте «да» или «нет» и подтвердите ответ.
12. Достаточно ли условия «Число n+n чётно.», чтобы заключить, что n — чётное целое число? Ответьте «да» или «нет» и подтвердите ответ.
13. Достаточно ли условия «Произведение n(n+1) чётно.», чтобы заключить, что n — чётное целое число? Ответьте «да» или «нет» и подтвердите ответ.
14. Достаточно ли условия «n — сумма двух нечётных целых чисел.», чтобы заключить, что n — чётное целое число? Ответьте «да» или «нет» и подтвердите ответ.

Ключ с причинами и контрпримерами

1. Да. n=4k=2(2k), следовательно, чётно.
2. Нет. Контрпример n=3: делится на 3, но нечётно.
3. Нет. n=9=3² нечётно.
4. Да. n+1=2k+1, значит n=2k.
5. Да. n+2=2k, значит n=2(k−1).
6. Да. Если бы n было нечётным, квадрат нечётного был бы нечётным; противоречие.
7. Да. Число n не может быть нечётным, ибо квадрат нечётного нечётен.
8. Нет. n=101 больше ста, но нечётно.
9. Да. n=10k=2(5k).
10. Нет. n=1 неотрицательно, но нечётно.
11. Да. n−1=2k+1, значит n=2(k+1).
12. Нет. У любого n число 2n чётно, но n может быть 3.
13. Нет. n=3 нечётно, при этом 3·4=12 чётно.
14. Да. (2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1).

Оценивание и разбор спорных случаев

За каждое верное «да» или «нет» — 1 балл (максимум 14); за ошибочно выбранный ответ балл не начисляется. Письменные пояснения используйте для диагностики: «да» должно сопровождаться общим объяснением, а «нет» — конкретным контрпримером. Ориентир: 13–14 баллов — условие усвоено, 10–12 — повторить обратные утверждения, 7–9 — разобрать достаточность по формуле 2k, 0–6 — выполнить снова первые пять задач с учителем.

Особый случай n²: если n нечётно, то n=2k+1 и n²=4k²+4k+1 — нечётное. Следовательно, если квадрат чётен, само число чётно. Но для произведения соседних целых чисел n(n+1) ситуация иная: оно чётно при любом n, потому что один из соседей чётный, и поэтому не сообщает, чётно ли само n. Эти два рассуждения нельзя смешивать. Также ноль чётен, поскольку 0=2·0; правила распространяются и на отрицательные целые числа.