Определение единиц углового коэффициента в прикладной задаче: задачи и решения для 7 класса

Угловой коэффициент прикладного графика — не просто число. Его размерность сообщает, сколько единиц величины y приходится на одну единицу величины x. У функции y=kx+b размерность k всегда «единица y / единица x»; b измеряется в тех же единицах, что и y.

Пограничные случаи и правила

• Если y — метры, а x — секунды, k измеряется в м/с. Если оси поменять местами, размерность станет с/м (при ненулевом наклоне).
• Если y — °C, а x — часы, размерность k записывают °C/ч: это скорость изменения температуры, а не температура сама по себе.
• Если k = 0, единицы остаются прежними: 0 л/мин — скорость изменения объёма, а не величина без единиц.
• Если два значения x совпали, дробь (y₂−y₁)/(x₂−x₁) не определена: делить на ноль нельзя.
• Если данные записаны в других единицах, прежде чем сравнивать наклоны, нужно привести их к одинаковой системе измерений.

Уровень I — определите правильную единицу (задания 1–8)

1. x — время, мин; y — пройденный путь, м. Запишите единицу k и объясните её смысл.
2. x — масса, кг; y — цена, тенге. Запишите единицу k и объясните её смысл.
3. x — время, с; y — скорость, м/с. Запишите единицу k и объясните её смысл.
4. x — минуты; y — объём, л. Запишите единицу k и объясните её смысл.
5. x — дни; y — температура, °C. Запишите единицу k и объясните её смысл.
6. x — расстояние, км; y — потрачено топлива, л. Запишите единицу k и объясните её смысл.
7. x — часы; y — количество изделий, шт.. Запишите единицу k и объясните её смысл.
8. x — площадь, м²; y — стоимость покрытия, тенге. Запишите единицу k и объясните её смысл.

Уровень II — посчитайте наклон и не потеряйте единицы (задания 9–16)

9. Путь s от 20 м до 140 м за время от 2 до 6 мин. Найдите k, укажите знак и единицу измерения.

10. Сумма покупки от 1 200 до 2 700 тенге при массе от 3 до 8 кг. Найдите k, укажите знак и единицу измерения.

11. Объём воды от 85 до 61 л за время от 1 до 7 мин. Найдите k, укажите знак и единицу измерения.

12. Температура от −6 до 3 °C при времени от 0 до 3 ч. Найдите k, укажите знак и единицу измерения.

13. Кол-во билетов от 15 до 39 шт. за время от 1 до 5 мин. Найдите k, укажите знак и единицу измерения.

14. Масса вещества от 55 до 55 г за время от 2 до 9 ч. Найдите k, укажите знак и единицу измерения.

15. Заряд от 90 до 42% за время от 0 до 4 ч. Найдите k, укажите знак и единицу измерения.

16. Высота от 5 до 35 см при возрасте от 2 до 8 недель. Найдите k, укажите знак и единицу измерения.

Уровень III — ловушки размерности (задания 17–24)

17. Скорость изменения длины равна 2 см/с. Запишите то же значение в мм/с.
18. Уклон составляет 0,5 л/мин. Сколько это литров в час при постоянном темпе?
19. Проезд дорожает на 45 тенге за километр. Как записать коэффициент, если ось x выражена в метрах?
20. График y=3x+8: x измерен в ч, y — в км. Каковы единицы у 3 и 8?
21. График y=−4x+60: x — мин, y — л. Что означает знак и в чём измеряется −4?
22. Два замера: (3 мин; 12 л) и (3 мин; 18 л). Найдите k.
23. При x в секундах наклон 6 м/с. Каким станет ЧИСЛЕННОЕ значение k, если x записать в минутах?
24. Если на оси x — температура в °C, а на оси y — расход энергии в кВт·ч, какая размерность k?

Полный ключ ответов с проверкой размерностей

Уровень I

1. м/мин. Обозначает изменение пути за минуту.
2. тенге/кг. Показывает цену единицы массы.
3. м/с². Это изменение скорости за секунду.
4. л/мин. Изменение объёма за минуту.
5. °C/день. Изменение температуры за день.
6. л/км. Расход на 1 км.
7. шт./ч. Производительность.
8. тенге/м². Расход денег на единицу площади.

Уровень II

9. (140−(20))/(6−2) = 30 м/мин; величина росла.
10. (2700−(1200))/(8−3) = 300 тенге/кг; величина росла.
11. (61−(85))/(7−1) = -4 л/мин; величина уменьшалась.
12. (3−(-6))/(3−0) = 3 °C/ч; величина росла.
13. (39−(15))/(5−1) = 6 шт./мин; величина росла.
14. (55−(55))/(9−2) = 0 г/ч; величина оставалась постоянной.
15. (42−(90))/(4−0) = -12 процентных пунктов/ч; величина уменьшалась.
16. (35−(5))/(8−2) = 5 см/неделю; величина росла.

Уровень III

17. 2 см/с = 20 мм/с: 1 см = 10 мм; секунды не меняются.
18. 0,5 × 60 = 30 л/ч, потому что в одном часе 60 минут.
19. 45 тенге/км = 0,045 тенге/м: в 1 км — 1000 м.
20. 3 км/ч — угловой коэффициент, 8 км — свободный член (начальное расстояние).
21. −4 л/мин: объём уменьшается на 4 л за минуту. Начальный объём 60 л.
22. Наклон не определён: разность аргументов равна 0; получить функцию y=kx+b, проходящую через обе точки, нельзя.
23. 360 м/мин: за минуту при том же темпе путь изменится на 6 × 60 = 360 м.
24. (кВт·ч)/°C. Коэффициент отражает изменение расхода энергии на 1 °C и не является мощностью в кВт.

Математическая самопроверка

Проверяйте ответ тремя вопросами. 1. В правильном ли порядке вычтены значения y и x? 2. Какая величина стояла на вертикальной оси и какая — на горизонтальной? 3. После смены минут на часы коэффициент пересчитан, а единицы изменены? Например, 2 л/мин соответствует 120 л/ч, но никак не 2 л/ч.

Для классов, где понятие производной ещё не изучалось, «скорость изменения» здесь означает наклон прямой или среднее изменение на данном отрезке; из двух произвольных измерений нельзя делать вывод о постоянной скорости процесса на всём промежутке.

Дополнительный разбор: почему размерность нельзя угадывать по сюжету

Допустим, датчик показывает расход воды в литрах через каждые 30 секунд: в момент t=0 с объём равен 100 л, а в момент t=30 с — 94 л. Наклон k=(94−100)/(30−0)=−0,2 л/с. Если то же самое время записать в минутах, вторая пара становится (0,5 мин; 94 л), и k=(94−100)/0,5=−12 л/мин. Изменение объёма осталось тем же: 6 л; изменился только числовой коэффициент из-за единицы по горизонтали. Ошибка — просто переписать «−0,2 л/мин» без пересчёта.

Для графика оплаты работы x может означать минуты труда, а y — общую сумму в тенге. Тогда k измеряется в тенге/мин, даже если численно он совпадает со скоростью движения в м/мин из другой задачи. Одинаковые числа ещё не означают одинаковые физические величины. Свободный член b здесь тоже выражается в тенге и может отражать фиксированную оплату; его единица не делится на минуты.

Если оси имеют одинаковую единицу, например длина детали в сантиметрах по оси x и длина упаковки в сантиметрах по оси y, у k получается см/см. Формально единицы сокращаются, и коэффициент можно считать безразмерным отношением длин. Но в пояснении всё равно полезно написать, какая длина изменяется относительно какой: иначе теряется прикладной смысл.

Отдельно следите за формулировкой «стоимость за два килограмма». Если приращение цены составляет 900 тенге на каждые 2 кг, то k=450 тенге/кг, а не 900 тенге/кг. Делить приращение y нужно именно на приращение x. Длина интервала по оси x не обязана быть равна единице.

Контроль результата: числовое значение, знак, запись единицы, интерпретация изменения. Если один из четырёх элементов не согласуется с условием, вернитесь к подписи осей, прежде чем исправлять расчёт наугад.