Определение границ округления числа при умножении на число меньше единицы — карточки с ответами, 5 класс

В заданиях известен округлённый результат измерения, но исходное число могло немного отличаться от записанного. Нужно найти границы, между которыми находится произведение этого числа и положительного множителя, меньшего единицы. Эта карточка тренирует именно поиск границ, а не только умножение десятичных дробей. Для пятого класса важно научиться различать точное вычисление и вывод из округлённых данных.

Откуда берутся границы

Договоримся округлять неотрицательные числа обычным школьным способом: если первая отброшенная цифра равна 5 или больше, последнюю оставленную увеличивают на единицу. Поэтому запись «12,4 — число, округлённое до десятых» означает 12,35 ≤ x < 12,45. Левая граница входит в набор возможных исходных чисел, правая — нет: 12,45 округлится уже до 12,5. Если округляли до сотых, отступ от записи равен 0,005.

Пусть 12,4 умножают на 0,6. Так как 0,6 положительно, направление неравенств сохраняется: 12,35 × 0,6 ≤ 0,6x < 12,45 × 0,6. Получаем 7,41 ≤ 0,6x < 7,47. Запись «7,44» — лишь произведение двух записанных чисел; она не описывает все возможные результаты. При округлении произведения до десятых возможны 7,4 и 7,5, поэтому нельзя объявить один из них гарантированным.

Обозначение границы в решении важно не меньше цифр: если верхняя граница не входит в исходный интервал, то и после умножения на положительное число она остаётся строгой. Иногда именно это решает вопрос, можно ли получить округлённый результат на пороге 5.

Уровень 1. Найдите точные границы произведения

Во всех восьми карточках слово «округлено» относится к исходному x. Запишите интервал для x, а затем умножьте обе его границы на указанный коэффициент c. В ответе нужен интервал для y = cx; конечное значение y пока округлять не требуется.

1. № 1. x округлено до десятых: получили 12,4. Найдите границы для y = 0,6x.
2. № 2. x округлено до десятых: получили 7,8. Найдите границы для y = 0,4x.
3. № 3. x округлено до сотых: получили 4,26. Найдите границы для y = 0,5x.
4. № 4. x округлено до десятых: получили 18,7. Найдите границы для y = 0,2x.
5. № 5. x округлено до сотых: получили 9,35. Найдите границы для y = 0,8x.
6. № 6. x округлено до десятых: получили 2,6. Найдите границы для y = 0,75x.
7. № 7. x округлено до сотых: получили 13,04. Найдите границы для y = 0,25x.
8. № 8. x округлено до десятых: получили 6,1. Найдите границы для y = 0,9x.

Самопроверка уровня 1

1. № 1. Из 12,35 ≤ x < 12,45 следует 7,41 ≤ y < 7,47. Умножение на 0,6 не переворачивает знаки, поскольку коэффициент больше нуля.
2. № 2. Из 7,75 ≤ x < 7,85 следует 3,1 ≤ y < 3,14. Умножение на 0,4 не переворачивает знаки, поскольку коэффициент больше нуля.
3. № 3. Из 4,255 ≤ x < 4,265 следует 2,1275 ≤ y < 2,1325. Умножение на 0,5 не переворачивает знаки, поскольку коэффициент больше нуля.
4. № 4. Из 18,65 ≤ x < 18,75 следует 3,73 ≤ y < 3,75. Умножение на 0,2 не переворачивает знаки, поскольку коэффициент больше нуля.
5. № 5. Из 9,345 ≤ x < 9,355 следует 7,476 ≤ y < 7,484. Умножение на 0,8 не переворачивает знаки, поскольку коэффициент больше нуля.
6. № 6. Из 2,55 ≤ x < 2,65 следует 1,9125 ≤ y < 1,9875. Умножение на 0,75 не переворачивает знаки, поскольку коэффициент больше нуля.
7. № 7. Из 13,035 ≤ x < 13,045 следует 3,25875 ≤ y < 3,26125. Умножение на 0,25 не переворачивает знаки, поскольку коэффициент больше нуля.
8. № 8. Из 6,05 ≤ x < 6,15 следует 5,445 ≤ y < 5,535. Умножение на 0,9 не переворачивает знаки, поскольку коэффициент больше нуля.

Не подменяйте интервал одним числом. Например, если точное измерение лишь известно с точностью до сотой, то умножение его записанного округления на 0,8 может дать удобный ориентир, но границы точного произведения должны получаться из обоих концов исходного промежутка.

Уровень 2. Можно ли однозначно округлить произведение?

Здесь после нахождения границ нужно выполнить ещё один шаг: выяснить, одинаково ли округляются все возможные значения y. Если интервал пересекает порог округления, возможны два соседних ответа; напишите оба. Обязательно учитывайте строгую верхнюю границу.

9. № 9. После округления x до десятых записали 8,3. Для y = 0,5x найдите границы и все возможные результаты округления y до десятых.
10. № 10. После округления x до десятых записали 5,7. Для y = 0,8x найдите границы и все возможные результаты округления y до десятых.
11. № 11. После округления x до десятых записали 16,2. Для y = 0,25x найдите границы и все возможные результаты округления y до десятых.
12. № 12. После округления x до сотых записали 4,85. Для y = 0,6x найдите границы и все возможные результаты округления y до сотых.
13. № 13. После округления x до сотых записали 2,38. Для y = 0,5x найдите границы и все возможные результаты округления y до сотых.
14. № 14. После округления x до десятых записали 10,6. Для y = 0,75x найдите границы и все возможные результаты округления y до десятых.
15. № 15. После округления x до сотых записали 6,45. Для y = 0,4x найдите границы и все возможные результаты округления y до сотых.
16. № 16. После округления x до десятых записали 9,1. Для y = 0,3x найдите границы и все возможные результаты округления y до десятых.

Ответы с объяснением для уровня 2

9. № 9. 4,125 ≤ y < 4,175. Возможные округлённые ответы: 4,1, 4,2. Одного ответа нет: внутри интервала находятся числа по разные стороны порога округления.
10. № 10. 4,52 ≤ y < 4,6. Возможные округлённые ответы: 4,5, 4,6. Одного ответа нет: внутри интервала находятся числа по разные стороны порога округления.
11. № 11. 4,0375 ≤ y < 4,0625. Возможные округлённые ответы: 4,0, 4,1. Одного ответа нет: внутри интервала находятся числа по разные стороны порога округления.
12. № 12. 2,907 ≤ y < 2,913. Возможные округлённые ответы: 2,91. Единственный ответ возможен: весь интервал попадает в одну область округления.
13. № 13. 1,1875 ≤ y < 1,1925. Возможные округлённые ответы: 1,19. Единственный ответ возможен: весь интервал попадает в одну область округления.
14. № 14. 7,9125 ≤ y < 7,9875. Возможные округлённые ответы: 7,9, 8,0. Одного ответа нет: внутри интервала находятся числа по разные стороны порога округления.
15. № 15. 2,578 ≤ y < 2,582. Возможные округлённые ответы: 2,58. Единственный ответ возможен: весь интервал попадает в одну область округления.
16. № 16. 2,715 ≤ y < 2,745. Возможные округлённые ответы: 2,7. Единственный ответ возможен: весь интервал попадает в одну область округления.

Уровень 3. Несколько условий в одной задаче

В сложных карточках придётся проверять сразу две вещи: границы произведения и утверждение об округлении. В некоторых условиях предлагается проверить ученика, который округляет x слишком рано или неверно трактует открытый конец интервала. Решайте без калькулятора, постепенно умножая десятичные дроби и сравнивая их с серединами интервалов округления.

17. № 17. Число x записано как 14,5 после округления до десятых. y = 0,2x; y округляют до десятых. Можно ли гарантировать, что округление точного произведения совпадает с округлением 2,9?
18. № 18. Число x записано как 3,27 после округления до сотых. y = 0,9x; y округляют до сотых. Ученик получил 2,94 округлением произведения 2,943. Всегда ли этот ответ верен?
19. № 19. Число x записано как 19,8 после округления до десятых. y = 0,4x; y округляют до десятых. Назовите все возможные округлённые ответы и объясните, почему верхняя граница не включается.
20. № 20. Число x записано как 7,65 после округления до сотых. y = 0,8x; y округляют до сотых. Можно ли гарантировать, что округление точного произведения совпадает с округлением 6,12?
21. № 21. Число x записано как 25,3 после округления до десятых. y = 0,25x; y округляют до десятых. Ученик получил 6,3 округлением произведения 6,325. Всегда ли этот ответ верен?
22. № 22. Число x записано как 5,04 после округления до сотых. y = 0,75x; y округляют до сотых. Назовите все возможные округлённые ответы и объясните, почему верхняя граница не включается.
23. № 23. Число x записано как 11,6 после округления до десятых. y = 0,6x; y округляют до десятых. Можно ли гарантировать, что округление точного произведения совпадает с округлением 6,96?
24. № 24. Число x записано как 4,91 после округления до сотых. y = 0,2x; y округляют до сотых. Ученик получил 0,98 округлением произведения 0,982. Всегда ли этот ответ верен?
25. № 25. Число x записано как 32,7 после округления до десятых. y = 0,5x; y округляют до десятых. Назовите все возможные округлённые ответы и объясните, почему верхняя граница не включается.
26. № 26. Число x записано как 1,84 после округления до сотых. y = 0,6x; y округляют до сотых. Можно ли гарантировать, что округление точного произведения совпадает с округлением 1,104?

Разбор решений уровня 3

17. № 17. Исходные границы: 14,45 ≤ x < 14,55; после умножения: 2,89 ≤ y < 2,91. Получаются 2,9. Вычисление по центру даёт 2,9 и после округления 2,9, но в данном случае это гарантированный ответ.
18. № 18. Исходные границы: 3,265 ≤ x < 3,275; после умножения: 2,9385 ≤ y < 2,9475. Получаются 2,94, 2,95. Вычисление по центру даёт 2,943 и после округления 2,94, но это не гарантировано для любого исходного x.
19. № 19. Исходные границы: 19,75 ≤ x < 19,85; после умножения: 7,9 ≤ y < 7,94. Получаются 7,9. Вычисление по центру даёт 7,92 и после округления 7,9, но в данном случае это гарантированный ответ.
20. № 20. Исходные границы: 7,645 ≤ x < 7,655; после умножения: 6,116 ≤ y < 6,124. Получаются 6,12. Вычисление по центру даёт 6,12 и после округления 6,12, но в данном случае это гарантированный ответ.
21. № 21. Исходные границы: 25,25 ≤ x < 25,35; после умножения: 6,3125 ≤ y < 6,3375. Получаются 6,3. Вычисление по центру даёт 6,325 и после округления 6,3, но в данном случае это гарантированный ответ.
22. № 22. Исходные границы: 5,035 ≤ x < 5,045; после умножения: 3,77625 ≤ y < 3,78375. Получаются 3,78. Вычисление по центру даёт 3,78 и после округления 3,78, но в данном случае это гарантированный ответ.
23. № 23. Исходные границы: 11,55 ≤ x < 11,65; после умножения: 6,93 ≤ y < 6,99. Получаются 6,9, 7,0. Вычисление по центру даёт 6,96 и после округления 7,0, но это не гарантировано для любого исходного x.
24. № 24. Исходные границы: 4,905 ≤ x < 4,915; после умножения: 0,981 ≤ y < 0,983. Получаются 0,98. Вычисление по центру даёт 0,982 и после округления 0,98, но в данном случае это гарантированный ответ.
25. № 25. Исходные границы: 32,65 ≤ x < 32,75; после умножения: 16,325 ≤ y < 16,375. Получаются 16,3, 16,4. Вычисление по центру даёт 16,35 и после округления 16,4, но это не гарантировано для любого исходного x.
26. № 26. Исходные границы: 1,835 ≤ x < 1,845; после умножения: 1,101 ≤ y < 1,107. Получаются 1,10, 1,11. Вычисление по центру даёт 1,104 и после округления 1,10, но это не гарантировано для любого исходного x.

Почему результат не всегда можно предсказать по записи

Тонкость не в том, что множитель «добавляет ошибку»: коэффициент меньше единицы уменьшает абсолютную ширину исходного промежутка. Но даже узкий промежуток способен пересечь границу двух зон округления. Например, если требуются десятые, порог между результатами 4,2 и 4,3 расположен в точке 4,25. Интервал шириной всего 0,02, содержащий числа по обе стороны 4,25, приводит к двум возможным ответам. Сначала сравните найденный интервал с ближайшими порогами, а не автоматически округляйте его середину.

Одинаковые принципы действуют при округлении до сотых: порог между 3,14 и 3,15 равен 3,145. При этом 3,145 округляется до 3,15, а любое число, которое строго меньше 3,145 и больше 3,135, — до 3,14. Поэтому запись «верхняя граница не входит» может изменить набор допустимых ответов. В задачах намеренно чередуются десятые, сотые, разные коэффициенты и пограничные случаи.

Практическая памятка для самостоятельной проверки: запишите отступ 0,05 либо 0,005 от округлённого x; укажите, какая граница включена; умножьте обе границы на один и тот же положительный коэффициент; если требуется округление произведения, проверьте, не пересекает ли полученный промежуток его порог. Гарантированный ответ допустим только тогда, когда весь промежуток округляется одинаково.