Определение интервала положительности по известным нулям функции — математический практикум для 9 класса

Класс: 9. Цель: по известным нулям квадратичной функции и знаку старшего коэффициента определять именно открытые интервалы положительности. Два самостоятельных варианта имеют разные числа, в том числе двойные и нулевые корни.

Короткий ориентир перед вариантами

Если действительные корни известны, функция представима в виде f(x)=a(x−r₁)(x−r₂). Важно также знать знак a: сами два нуля не сообщают, снаружи или внутри них график располагается выше оси. При a>0 положительны внешние промежутки, при a<0 — внутренний; при совпадении корней знак у функции по обе стороны не меняется.

Вариант А: определите знак без полного раскрытия скобок

1. Функция имеет нули x=−4 и x=2; старший коэффициент a=1. Найдите, где f(x)>0.
2. Функция имеет нули x=−6 и x=−1; старший коэффициент a=−1. Найдите, где f(x)>0. Укажите, какие точки следует исключить.
3. Функция имеет нули x=1 и x=5; старший коэффициент a=2. Найдите, где f(x)>0. Обоснуйте выбор промежутка, не раскрывая скобок.
4. Функция имеет нули x=−3 и x=3; старший коэффициент a=−2. Найдите, где f(x)>0. Запишите и проверьте знаки множителей.
5. Функция имеет нули x=2 и x=2; старший коэффициент a=3. Найдите, где f(x)>0.
6. Функция имеет нули x=−2 и x=4; старший коэффициент a=−3. Найдите, где f(x)>0. Укажите, какие точки следует исключить.
7. Функция имеет нули x=−5 и x=1; старший коэффициент a=1. Найдите, где f(x)>0. Обоснуйте выбор промежутка, не раскрывая скобок.
8. Функция имеет нули x=3 и x=7; старший коэффициент a=−1. Найдите, где f(x)>0. Запишите и проверьте знаки множителей.

Вариант Б: проверьте себя другим набором

1. Функция имеет нули x=−7 и x=−2; старший коэффициент a=2. Найдите, где f(x)>0.
2. Функция имеет нули x=−1 и x=6; старший коэффициент a=−2. Найдите, где f(x)>0. Укажите, какие точки следует исключить.
3. Функция имеет нули x=0 и x=5; старший коэффициент a=3. Найдите, где f(x)>0. Обоснуйте выбор промежутка, не раскрывая скобок.
4. Функция имеет нули x=−4 и x=0; старший коэффициент a=−3. Найдите, где f(x)>0. Запишите и проверьте знаки множителей.
5. Функция имеет нули x=6 и x=6; старший коэффициент a=−1. Найдите, где f(x)>0.
6. Функция имеет нули x=−3 и x=8; старший коэффициент a=1. Найдите, где f(x)>0. Укажите, какие точки следует исключить.
7. Функция имеет нули x=−2 и x=2; старший коэффициент a=−1. Найдите, где f(x)>0. Обоснуйте выбор промежутка, не раскрывая скобок.
8. Функция имеет нули x=1 и x=9; старший коэффициент a=2. Найдите, где f(x)>0. Запишите и проверьте знаки множителей.

Самопроверка: сравните решения двух вариантов

В вариантах есть задания с a>0 и a<0, а также с совпадающими корнями. При каждом сравнении объясните, почему корни не включаются в строгое неравенство. Сопоставьте задачу с двумя разными корнями и задачу с двойным корнем: во второй парабола касается оси, а не пересекает её.

Ключ и разбор к варианту А

1. (−∞; −4) ∪ (2; +∞). f(x)=x² + 2x − 8=1(x−(−4))(x−(2)); D = 36 > 0, корни −4 и 2, a = 1 > 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
2. (−6; −1). f(x)=−x² − 7x − 6=−1(x−(−6))(x−(−1)); D = 25 > 0, корни −6 и −1, a = −1 < 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
3. (−∞; 1) ∪ (5; +∞). f(x)=2x² − 12x + 10=2(x−(1))(x−(5)); D = 64 > 0, корни 1 и 5, a = 2 > 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
4. (−3; 3). f(x)=18 − 2x²=−2(x−(−3))(x−(3)); D = 144 > 0, корни −3 и 3, a = −2 < 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
5. все x, кроме x = 2. f(x)=3x² − 12x + 12=3(x−(2))(x−(2)); D = 0; парабола касается оси в x = 2, в остальных точках значение положительно.
6. (−2; 4). f(x)=−3x² + 6x + 24=−3(x−(−2))(x−(4)); D = 324 > 0, корни −2 и 4, a = −3 < 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
7. (−∞; −5) ∪ (1; +∞). f(x)=x² + 4x − 5=1(x−(−5))(x−(1)); D = 36 > 0, корни −5 и 1, a = 1 > 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
8. (3; 7). f(x)=−x² + 10x − 21=−1(x−(3))(x−(7)); D = 16 > 0, корни 3 и 7, a = −1 < 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.

Ключ и разбор к варианту Б

1. (−∞; −7) ∪ (−2; +∞). f(x)=2x² + 18x + 28=2(x−(−7))(x−(−2)); D = 100 > 0, корни −7 и −2, a = 2 > 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
2. (−1; 6). f(x)=−2x² + 10x + 12=−2(x−(−1))(x−(6)); D = 196 > 0, корни −1 и 6, a = −2 < 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
3. (−∞; 0) ∪ (5; +∞). f(x)=3x² − 15x=3(x−(0))(x−(5)); D = 225 > 0, корни 0 и 5, a = 3 > 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
4. (−4; 0). f(x)=−3x² − 12x=−3(x−(−4))(x−(0)); D = 144 > 0, корни −4 и 0, a = −3 < 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
5. нет действительных x. f(x)=−x² + 12x − 36=−1(x−(6))(x−(6)); D = 0, a < 0; значение не превосходит нуля.
6. (−∞; −3) ∪ (8; +∞). f(x)=x² − 5x − 24=1(x−(−3))(x−(8)); D = 121 > 0, корни −3 и 8, a = 1 > 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
7. (−2; 2). f(x)=4 − x²=−1(x−(−2))(x−(2)); D = 16 > 0, корни −2 и 2, a = −1 < 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.
8. (−∞; 1) ∪ (9; +∞). f(x)=2x² − 20x + 18=2(x−(1))(x−(9)); D = 256 > 0, корни 1 и 9, a = 2 > 0. В нулях функция равна нулю: границы открытые.

Три вывода для взаимной проверки

1. Отрицательный множитель a переворачивает знак исходного произведения. 2. Если один из корней равен нулю, он всё равно является исключённой границей строгой области положительности. 3. При двух совпадающих нулях нельзя записывать между ними «положительный интервал» — такого интервала нет.

Попросите соседа по парте выбрать один ответ и проверить знак подстановкой точки из найденного множества, а затем точки вне него. Две проверки поддерживают рассуждение, но сам общий ответ даёт правило знаков для квадратичной функции.