Определение интервала положительности по вершине и одной точке: мини-практикум с ответами, 9 класс

Короткая диагностика для 9 класса. В каждом пункте ищите строгое условие f(x)>0. Граничные нули не включаются в ответ. Уравнение через вершину: f(x)=a(x−h)²+k; по точке (u;v), где u≠h, коэффициент a=(v−k)/(u−h)².

Три контрольных вопроса

• 1. Контроль 1. Вершина (0;4), точка (1;3). Где f(x)>0?
• 2. Контроль 2. Вершина (2;−9), точка (3;−8). Где f(x)>0?
• 3. Контроль 3. Вершина (−1;0), точка (1;−4). Есть ли положительные значения?

Девять задач на знак функции

• 4. Вершина (1;9), точка (2;8). Найдите положительный интервал.
• 5. Вершина (−2;−4), точка (0;−3). Найдите оба промежутка.
• 6. Вершина (3;0), точка (4;2). Для каких x функция положительна?
• 7. Вершина (4;5), точка (6;1). Укажите точные границы.
• 8. Вершина (0;−1), точка (2;3). Где значения положительны?
• 9. Вершина (−3;5), точка (−2;6). Найдите множество положительности.
• 10. Вершина (1;−2), точка (3;−10). Может ли функция быть положительной?
• 11. Вершина (−1;8), точка (1;0). Укажите промежуток.
• 12. Вершина (2;3), дополнительная точка (2;3). Можно ли дать однозначный ответ?

Быстрый ключ и пояснения

• 1. a=−1, f=4−x². (−2;2).
• 2. a=1, f=(x−2)²−9. (−∞;−1) ∪ (5;+∞).
• 3. a=−1, f=−(x+1)²≤0. Нет, множество ∅.
• 4. a=−1; 9−(x−1)²>0 ⇒ |x−1|<3 ⇒ (−2;4).
• 5. a=1/4, (x+2)²/4−4>0 ⇒ |x+2|>4 ⇒ (−∞;−6) ∪ (2;+∞).
• 6. a=2, 2(x−3)²>0 при x≠3: (−∞;3) ∪ (3;+∞).
• 7. a=−1, 5−(x−4)²>0 ⇒ (4−√5;4+√5).
• 8. a=1, x²−1>0 ⇒ (−∞;−1) ∪ (1;+∞).
• 9. a=1, (x+3)²+5>0 при всех x; ℝ.
• 10. a=−2, −2(x−1)²−2<0 всегда; нет.
• 11. a=−2; 8−2(x+1)²>0 ⇒ |x+1|<2 ⇒ (−3;1).
• 12. Нет: совпадающая точка не задаёт a. При a=1 функция положительна везде, при a=−1 — лишь на (2−√3;2+√3).

Самопроверка: 10–12 правильных — уверенное владение темой; 7–9 — повторите строгие неравенства и расположение корней; 0–6 — сначала решите два случая a>0 и a<0 в вершинной форме. В задании 12 данных недостаточно: не пытайтесь угадывать направление ветвей по точке, совпадающей с вершиной.