Определение изменений размера фигуры по сетке с неполными клетками — диагностика ошибок, 6 класс

6 класс · Диагностика и обратная проверка. Задачи на площадь фигур, обведённых по сетке: часть клеток целые, другие составляют половины и четверти. Каждая целая клетка имеет площадь 1 см². Части клеток не перекрываются; складываем площади частей, а не количество контуров.

Образец: проверка площадей в обе стороны

До изменения фигура занимает 8 полных клеток, 6 половинок и 4 четвертинки. S = 8 + 6·1/2 + 4·1/4 = 12 см². После расширения — 10 полных, 4 половинки и 4 четвертинки: S′ = 10 + 2 + 1 = 13 см². Изменение равно +1 см². Обратный ход: 13 − 10 − 4·1/4 = 2 см², что соответствует четырём половинкам.

Важная граница метода: неполные клетки ниже точно являются половинками или четвертинками. Для произвольной кривой на сетке простое число «неполных» клеток не даёт точную площадь; там нужна оценка или дополнительные данные.

Изменение фигуры: вычисли, затем восстанови

В каждой тройке указано число целых клеток; половинок; четвертинок. В заданиях 1–10 найдите площадь до, после и изменение со знаком. Укажите, увеличилась ли фигура, уменьшилась ли или площадь сохранилась.

Задания 11–14: обратная реконструкция

11. После изменения площадь 14 см². Видно 11 целых клеток и 4 половинки. Сколько четвертинок осталось, если каждая учтена точно?
12. Площадь первоначальной фигуры равна 9,5 см²; в ней 7 целых и 2 четвертинки. Сколько половинок?
13. Фигура занимала 10 см², а стала занимать 12,25 см². Ученик записал −2,25 см². Найдите ошибку и исправьте.
14. При добавлении четырёх половинок ученик заявил, что площадь выросла на 4 см². Чему на самом деле равна прибавка?

Задания 15–16: найди логическую ошибку

15. В таблице указаны 5 целых и 3 четвертинки. Ученик округлил 5,75 см² до 6 см² и заявил, что это точный ответ. Почему он неправ?
16. До: 8 целых и 4 половинки. После: 9 целых и 2 половинки. Есть ли увеличение, хотя целых клеток стало больше?

Ключ с обратной проверкой

1. № 1: до 9 см², после 10 см², изменение +1 см². Проверка: 9 + (+1) = 10.
2. № 2: до 12 см², после 12 см², изменение 0 см². Проверка: 12 + (0) = 12.
3. № 3: до 8 см², после 9 см², изменение +1 см². Проверка: 8 + (+1) = 9.
4. № 4: до 12 см², после 12 см², изменение 0 см². Проверка: 12 + (0) = 12.
5. № 5: до 15 см², после 16 см², изменение +1 см². Проверка: 15 + (+1) = 16.
6. № 6: до 9 см², после 10 см², изменение +1 см². Проверка: 9 + (+1) = 10.
7. № 7: до 29/2 см², после 31/2 см², изменение +1 см². Проверка: 29/2 + (+1) = 31/2.
8. № 8: до 13 см², после 13 см², изменение 0 см². Проверка: 13 + (0) = 13.
9. № 9: до 12 см², после 12 см², изменение 0 см². Проверка: 12 + (0) = 12.
10. № 10: до 17 см², после 17 см², изменение 0 см². Проверка: 17 + (0) = 17.

1. № 11: 14−11−2=1 см², значит 4 четвертинки.
2. № 12: (9,5−7−0,5) : 0,5 = 4 половинки.
3. № 13: Изменение всегда Sпосле−Sдо =12,25−10=+2,25 см²: перепутан порядок вычитания.
4. № 14: 4·0,5=2 см², а не 4 см². Считать нужно площади, не число деталей.
5. № 15: 5,75 см² — точная площадь при данных условиях. 6 см² — лишь округление с погрешностью 0,25 см², требующее отдельного указания.
6. № 16: До S=8+2=10 см², после S=9+1=10 см²; площадь сохранилась. Число целых клеток само по себе не доказывает увеличение.

Проверь себя: для любой строки повтори расчёт через четвертинки: умножь площадь на 4 и получи целое число. Если выходит нецелое, неверно учтены половинки или четвертинки. При обратном восстановлении количество клеток всегда неотрицательное целое число.

Почему обратная проверка важнее угадывания

В задаче 6 площади не обязательно отличаются на одну полную клетку: разность может возникнуть из перестройки нескольких половинок. Ученик, который подсчитывает только количество обозначений в таблице, пропускает существенную информацию — долю клетки. Попробуйте записать начальную и конечную фигуру собственными полосками из четвертей; четыре четверти всегда заменяют одну целую клетку по площади, но форма границы при этом может измениться.