Определение направления прямой для прямой через две точки: тренажёр для 11 класса

Маршрут на 20–25 минут: от вычисления одного вектора к сравнению направлений трёхмерных прямых. Рекомендуется сначала решать устно и только затем пользоваться ключом. Запомните: два различных пункта A и B задают прямую, а вектор d = B − A указывает направление от A к B; для самой неориентированной прямой также подходит −d.

Этап 1. Лёгкий старт: вычитаем координаты в правильном порядке

1. A(1; 3; −2), B(5; 0; 4). Найдите AB.
2. A(−4; 2; 1), B(−1; −2; 7). Найдите AB.
3. A(2; −5; 3), B(2; 1; −1). Найдите примитивное целочисленное направление.
4. A(0; 1; 4), B(−6; −2; 4). Направление и его противоположный вектор?
5. A(3; 3; 3), B(3; 3; 3). Можно ли считать AB направлением прямой через A и B?
6. A(−2; 0; 5), B(4; 0; −1). Задайте направляющий вектор с первым компонентом 1.

Развилка: верно или ошибка?

1. «Для A(1; 0; 0), B(4; 2; 0) подходит направление (3; 2; 0)». Верно?
2. «Для A(−1; 2; 1), B(3; 4; 5) подходит направление (2; 1; 2)». Верно?
3. «Вектор (−1; 2; 3) не подходит, если AB = (1; −2; −3)». Верно?
4. «Если AB = (0; 5; 5), любой направляющий вектор должен иметь x-компоненту 0». Верно?
5. «Если две пары точек дают направления (1; 2; 0) и (2; 4; 1), прямые параллельны». Верно?
6. «Из AB = (2; 4; −6) можно взять направление (−1; −2; 3)». Верно?

Этап 3. Точная запись прямой и проверка соседнего маршрута

1. A(2; 1; −3), B(−1; 7; 0). Запишите параметрическое уравнение прямой.
2. Для прямой из предыдущего пункта найдите точку при t = 2.
3. A(−2; 4; 0), B(2; 0; 8). Какая координата направляющего вектора равна −1 после сокращения?
4. A(1; −1; 2), B(3; 5; 10). Лежит ли C(2; 2; 6) на прямой AB?
5. A(0; 0; 0), B(2; 1; −3). Какую из точек P(4; 2; −6), Q(4; 3; −6) содержит прямая AB?
6. A(5; −1; 2), B(1; 3; −2). Найдите направление AB и укажите, изменится ли сама прямая при смене порядка точек.

Как применять направление прямой к реальной трёхмерной задаче

Рассмотрим воображаемую нить, натянутую между двумя неподвижными точками A и B. Вектор AB — её направленный шаг: он одновременно сообщает изменение по трём осям. Если одна из компонент равна нулю, это означает постоянство соответствующей координаты вдоль всей прямой. Но нулевая компонента ещё не делает весь вектор нулевым, поэтому прямую можно корректно задать, пока хотя бы одна компонента ненулевая.

При построении параметрического уравнения удобно сначала записать (x; y; z) = A + t·AB. Никаких дополнительных вычислений для этого не требуется. Сокращение компонент AB на общий делитель допустимо: тогда числовое значение параметра t для той же геометрической точки изменится, но сами точки прямой останутся прежними. Это важная причина, по которой при сравнении направлений необходимо проверять пропорциональность, а не буквальное равенство координат векторов.

Как доказать принадлежность точки, а не просто угадать

Для проверки точки C на прямой AB найдите AC = C − A. Если существует одно вещественное число t такое, что AC = t·AB по всем трём координатам, принадлежность доказана. При нулевой компоненте AB соответствующая компонента AC также должна быть нулевой. Например, если AB = (0; 2; 4), то точка с другой x-координатой не лежит на этой прямой ни при каком t.

Помните о различии прямой и отрезка. У параметрической записи A + t(B − A) все вещественные t задают бесконечную прямую, а t от 0 до 1 включительно — только отрезок от A до B. Точки при t = −1 или t = 2 лежат на продолжении прямой, но не на отрезке. Это различие помогает не допускать ошибок при чтении координат инженерных и геометрических схем.

Практические критерии оценки

За каждый вычисленный вектор сравните три компоненты с разностью B − A. За задания о параллельности убедитесь, что назван один общий ненулевой множитель. За параметрические записи проверьте, что вектор направления не нулевой, а исходная точка действительно принадлежит прямой при t = 0. Утверждение «векторы смотрят в разные стороны, значит прямые разные» неверно: для неориентированной прямой противоположные направления одинаково подходят.

Итоговая самопроверка и рекомендации

1. (4; −3; 6). Вычитаем координаты A из координат B.
2. (3; −4; 6). Отрицательная начальная координата требует особой внимательности.
3. (0; 3; −2). AB = (0; 6; −4); делим на 2.
4. (−2; −1; 0) и (2; 1; 0). AB = (−6; −3; 0), сокращаем на 3.
5. Нет. Точки совпадают, AB = (0; 0; 0); через единственную точку проходит много прямых.
6. (1; 0; −1). AB = (6; 0; −6), делим на 6.
7. Верно. B − A = (3; 2; 0).
8. Верно. AB = (4; 2; 4) = 2(2; 1; 2).
9. Неверно. Это противоположный направляющий вектор той же прямой.
10. Верно. У любого кратного AB первая компонента 0.
11. Неверно. Третьи компоненты 0 и 1 не пропорциональны.
12. Верно. Это AB, умноженный на −1/2.
13. (x; y; z) = (2; 1; −3) + t(−1; 2; 1), t ∈ ℝ. AB = (−3; 6; 3) = 3(−1; 2; 1).
14. (0; 5; −1). (2; 1; −3) + 2(−1; 2; 1).
15. Вторая. AB = (4; −4; 8), примитивный вектор (1; −1; 2).
16. Да. AB = (2; 6; 8), AC = (1; 3; 4) = AB/2.
17. Только P. OP = 2·OB; у Q вторая координата не равна 2.
18. AB = (−4; 4; −4), можно (−1; 1; −1). Прямая не изменится. При перестановке A и B вектор меняет знак.

Если ошибки появились в первых шести пунктах, повторите правило B − A и отдельно потренируйте вычитание отрицательных чисел. Если трудны вопросы 7–12, проверяйте равенство отношений компонент или ищите общий ненулевой множитель. Если возникли ошибки в заданиях 13–18, различайте направляющий вектор, точку прямой и параметр: это три разных объекта.