Определение направления прямой по нормальному вектору — упражнения разной сложности, 11 класс

Мини-тест · 11 класс. Тема имеет важную оговорку: в двумерной плоскости нормаль прямой задаёт её направление с точностью до ненулевого множителя. В трёхмерном пространстве один вектор, перпендикулярный прямой, не определяет единственного направления. Для восстановления пространственной прямой часто нужны нормали двух пересекающихся плоскостей: направляющий вектор перпендикулярен обеим.

Правила: для прямой ax + by + c = 0 на плоскости подходит направление (−b; a). В пространстве для пересечения плоскостей с нормалями n₁ и n₂ можно взять d = n₁ × n₂, если векторы нормалей не параллельны. Максимум — 12 баллов (по одному за вопрос).

Мини-тест: 12 коротких заданий

1. На плоскости прямая 3x + 4y = 8. Укажите один направляющий вектор.
2. На плоскости нормаль прямой (−2; 5). Подойдёт ли направление (5; 2)?
3. На плоскости нормаль (0; 7). Как выглядит направление?
4. В пространстве известно только, что d ⟂ (0; 0; 1). Можно ли однозначно назвать d?
5. Прямая — пересечение плоскостей x = 1 и y = 2. Укажите направление.
6. Нормали двух плоскостей равны (1; 0; 0) и (0; 1; 0). Их линия пересечения направлена вдоль какой оси?
7. В пространстве n₁=(1; 0; 1), n₂=(0; 1; 0). Подойдёт ли d=(1; 0; −1)?
8. n₁=(1; 2; 0), n₂=(2; 4; 0). Определят ли такие нормали единственную линию пересечения?
9. На плоскости прямая 2x − y + 3 = 0. Верно ли, что (2; −1) — её направление?
10. В пространстве линия задана x + y = 3, y + z = 5. Найдите ненулевой направляющий вектор.
11. Прямая в плоскости: нормаль (6; −9). Назовите примитивное целочисленное направление.
12. Нормали двух плоскостей в пространстве (0; 1; 2) и (1; 0; −1). Подходит ли d = (2; −1; 1)?

Баллы и критерии

Ключ с объяснениями

1. (−4; 3). Он перпендикулярен нормали (3; 4), поскольку 3·(−4) + 4·3 = 0.
2. Да. (−2)·5 + 5·2 = 0.
3. (1; 0) или любой ненулевой кратный; прямая горизонтальна.
4. Нет. Подходят, например, (1; 0; 0) и (0; 1; 0), не являющиеся кратными.
5. (0; 0; 1). Координаты x и y постоянны, z меняется.
6. Вдоль Oz. Оба скалярных произведения с (0; 0; 1) равны нулю.
7. Да. d·n₁ = 1 − 1 = 0, d·n₂ = 0.
8. Нет. Нормали пропорциональны; плоскости параллельны либо совпадают.
9. Нет. Это нормаль. Подходит (1; 2), так как 2·1 − 2 = 0.
10. (1; −1; 1). Приращения должны удовлетворять dx + dy = 0 и dy + dz = 0.
11. (3; 2). 6·3 − 9·2 = 0; координаты взаимно просты.
12. Нет. Для первой нормали скалярное произведение −1 + 2 = 1 ≠ 0. Подходит (−1; 2; −1): 2 − 2 = 0 и −1 + 1 = 0.

Разбор спорного случая. Равенство d·n = 0 в трёхмерном пространстве задаёт целую плоскость возможных направлений d, поэтому одного условия недостаточно. Если же известны две линейно независимые нормали, пространство направлений, перпендикулярных им обеим, одномерно и определяет нужное направление с точностью до ненулевого множителя.