Определение направления прямой по пересечению с координатными осями: мини-практикум с ответами, 11 класс

Цель. Восстановить направляющий вектор прямой по двум различным точкам её пересечения с координатными осями. Здесь речь именно о прямой, а не о плоскости с тремя отрезками на осях.

Памятка для печати

Если прямая проходит через A(a; 0; 0) на оси Ox и B(0; b; 0) на Oy, то подходящий направляющий вектор равен B − A = (−a; b; 0). Для пары других осей поступают аналогично. Векторы v и kv при k ≠ 0 задают одно направление прямой (с противоположной ориентацией при k < 0). Нулевой вектор не годится.

Условие «пересекает ось» само по себе не определяет направление: необходимо знать обе различные точки. Если обе точки совпадают с началом координат, информации недостаточно.

Вариант А: найдите направление по двум точкам

1. Определите направление от первой точки ко второй для прямой через A(4, 0, 0) и B(0, 6, 0). Назовите отсутствующую компоненту направления.
2. Проверьте направление, вычитая координаты для прямой через A(-3, 0, 0) и B(0, 0, 5). Назовите отсутствующую компоненту направления.
3. Найдите вектор, параллельный данной прямой для прямой через A(0, 7, 0) и B(0, 0, -2). Назовите отсутствующую компоненту направления.
4. Запишите направляющий вектор для прямой через A(-8, 0, 0) и B(0, -4, 0). Назовите отсутствующую компоненту направления.
5. Определите направление от первой точки ко второй для прямой через A(5, 0, 0) и B(0, 0, -6). Назовите отсутствующую компоненту направления.
6. Проверьте направление, вычитая координаты для прямой через A(0, -9, 0) и B(0, 0, 3). Назовите отсутствующую компоненту направления.
7. Найдите вектор, параллельный данной прямой для прямой через A(12, 0, 0) и B(0, -2, 0). Назовите отсутствующую компоненту направления.
8. Запишите направляющий вектор для прямой через A(-4, 0, 0) и B(0, 0, -7). Назовите отсутствующую компоненту направления.

Вариант Б: знаки, другая плоскость и проверка

9. Определите направление от первой точки ко второй для прямой через A(0, 2, 0) и B(0, 0, 8). Назовите отсутствующую компоненту направления.
10. Проверьте направление, вычитая координаты для прямой через A(-5, 0, 0) и B(0, 10, 0). Назовите отсутствующую компоненту направления.
11. Найдите вектор, параллельный данной прямой для прямой через A(9, 0, 0) и B(0, 0, 3). Назовите отсутствующую компоненту направления.
12. Запишите направляющий вектор для прямой через A(0, -6, 0) и B(0, 0, -3). Назовите отсутствующую компоненту направления.
13. Определите направление от первой точки ко второй для прямой через A(6, 0, 0) и B(0, -9, 0). Назовите отсутствующую компоненту направления.
14. Проверьте направление, вычитая координаты для прямой через A(-7, 0, 0) и B(0, 0, 14). Назовите отсутствующую компоненту направления.
15. Найдите вектор, параллельный данной прямой для прямой через A(0, 11, 0) и B(0, 0, 5). Назовите отсутствующую компоненту направления.
16. Запишите направляющий вектор для прямой через A(-2, 0, 0) и B(0, 13, 0). Назовите отсутствующую компоненту направления.

Подробный ключ для учителя

Проверка: подставьте координаты начальной и конечной точек, затем вычислите разность покомпонентно. Для каждого результата противоположный вектор тоже направляющий, но соответствует обратному обходу.

1. A = (4, 0, 0), B = (0, 6, 0); B − A = (-4, 6, 0). Компонента вдоль третьей оси равна 0; вектор ненулевой.
2. A = (-3, 0, 0), B = (0, 0, 5); B − A = (3, 0, 5). Компонента вдоль третьей оси равна 0; вектор ненулевой.
3. A = (0, 7, 0), B = (0, 0, -2); B − A = (0, -7, -2). Компонента вдоль третьей оси равна 0; вектор ненулевой.
4. A = (-8, 0, 0), B = (0, -4, 0); B − A = (8, -4, 0). Компонента вдоль третьей оси равна 0; вектор ненулевой.
5. A = (5, 0, 0), B = (0, 0, -6); B − A = (-5, 0, -6). Компонента вдоль третьей оси равна 0; вектор ненулевой.
6. A = (0, -9, 0), B = (0, 0, 3); B − A = (0, 9, 3). Компонента вдоль третьей оси равна 0; вектор ненулевой.
7. A = (12, 0, 0), B = (0, -2, 0); B − A = (-12, -2, 0). Компонента вдоль третьей оси равна 0; вектор ненулевой.
8. A = (-4, 0, 0), B = (0, 0, -7); B − A = (4, 0, -7). Компонента вдоль третьей оси равна 0; вектор ненулевой.

Вторая серия и работа над ошибками

9. A = (0, 2, 0), B = (0, 0, 8); B − A = (0, -2, 8). Компонента вдоль третьей оси равна 0; вектор ненулевой.
10. A = (-5, 0, 0), B = (0, 10, 0); B − A = (5, 10, 0). Компонента вдоль третьей оси равна 0; вектор ненулевой.
11. A = (9, 0, 0), B = (0, 0, 3); B − A = (-9, 0, 3). Компонента вдоль третьей оси равна 0; вектор ненулевой.
12. A = (0, -6, 0), B = (0, 0, -3); B − A = (0, 6, -3). Компонента вдоль третьей оси равна 0; вектор ненулевой.
13. A = (6, 0, 0), B = (0, -9, 0); B − A = (-6, -9, 0). Компонента вдоль третьей оси равна 0; вектор ненулевой.
14. A = (-7, 0, 0), B = (0, 0, 14); B − A = (7, 0, 14). Компонента вдоль третьей оси равна 0; вектор ненулевой.
15. A = (0, 11, 0), B = (0, 0, 5); B − A = (0, -11, 5). Компонента вдоль третьей оси равна 0; вектор ненулевой.
16. A = (-2, 0, 0), B = (0, 13, 0); B − A = (2, 13, 0). Компонента вдоль третьей оси равна 0; вектор ненулевой.

Разбор сложного случая: если A(−7;0;0), B(0;0;14), то B−A=(7;0;14). Вектор (1;0;2) тоже направляющий. Вектор (−1;0;2) не параллелен, поскольку знаки компонент изменены несогласованно.

Итог. Достаточны две различные точки, принадлежащие прямой. Пересечение трёх координатных осей в произвольных ненулевых точках обычно задаёт плоскость, а не одну прямую.