Определение области определения при ограничении аргумента корнем — самостоятельная работа, 10 класс

10 класс · Практическая карточка. Два независимых набора показывают, как корень ограничивает входной аргумент и как это ограничение меняют внешний логарифм или знаменатель. В ответе записывайте интервалы, отмечая включённые и исключённые границы.

Учебная цель: находить область определения составных функций, совмещая условия для корней, дробей и логарифмов.

Правило для всех заданий

Для действительного значения √u необходимо u ≥ 0. Если √u стоит в знаменателе, нужно u > 0. Если √u является аргументом натурального логарифма, также требуется √u > 0, то есть u > 0. Для дроби под корнем нужно одновременно исключить нулевой знаменатель и проверить знак всей дроби. У вложенных корней условия накладывают последовательно, от внутреннего к внешнему.

Вариант А — корень как внешняя операция

Задания варианта А

1. f(x) = √(x − 3).
2. f(x) = √(9 − x²).
3. f(x) = √((x − 2)(x + 4)).
4. f(x) = √((x + 1)/(x − 5)).
5. f(x) = 1/√(2x − 8).
6. f(x) = √(√(x − 2) − 3).
7. f(x) = √(7 − √(x + 2)).
8. f(x) = √((x − 1)² − 9).
9. Проверьте, входит ли x=5 в область функции √((x + 1)/(x − 5)).

Ответы и ход рассуждения

1. x − 3 ≥ 0. Ответ: [3; +∞).
2. 9 − x² ≥ 0, то есть −3 ≤ x ≤ 3. Ответ: [−3; 3].
3. Корни множителей −4 и 2; произведение неотрицательно снаружи промежутка. Ответ: (−∞; −4] ∪ [2; +∞).
4. Дробь ≥ 0 при x ≤ −1 либо x > 5; x=5 исключено. Ответ: (−∞; −1] ∪ (5; +∞).
5. Подкоренное выражение строго положительно из-за знаменателя: 2x − 8 > 0. Ответ: (4; +∞).
6. Внутренний корень определён при x ≥ 2; внешний требует √(x − 2) ≥ 3, поэтому x ≥ 11. Ответ: [11; +∞).
7. x ≥ −2 и √(x + 2) ≤ 7, то есть x ≤ 47. Ответ: [−2; 47].
8. (x − 1)² ≥ 9, значит x − 1 ≤ −3 или x − 1 ≥ 3. Ответ: (−∞; −2] ∪ [4; +∞).
9. Не входит: при x=5 знаменатель равен нулю, выражение не определено. Нельзя включить точку, даже если числитель положителен.

Вариант Б — корень внутри другой операции

Задания варианта Б

1. g(x) = ln(√(x + 5)).
2. g(x) = 1/(√(8 − x) − 2).
3. g(x) = log₂(√(16 − x²)).
4. g(x) = √(5 − √(2x + 1)).
5. g(x) = ln(√((x − 3)/(x + 2))).
6. g(x) = √(2 − √(x − 1)).
7. g(x) = √((x − 3)/(x + 1)).
8. g(x) = 1/ln(√(x − 1)).
9. g(x) = √(√(9 − x²) − 2).
10. g(x) = √(√(x + 6)/(x − 1)).

Ответы и разбор ловушек

1. Требуется √(x + 5) > 0, следовательно x > −5. Ответ: (−5; +∞).
2. Внутренний корень требует x ≤ 8; знаменатель не нуль: √(8 − x) ≠ 2, x ≠ 4. Ответ: (−∞; 4) ∪ (4; 8].
3. Аргумент логарифма строго положителен: 16 − x² > 0. Ответ: (−4; 4).
4. 2x + 1 ≥ 0 и √(2x + 1) ≤ 5: −1/2 ≤ x ≤ 12. Ответ: [−1/2; 12].
5. Для положительного аргумента логарифма требуется (x − 3)/(x + 2) > 0. Ответ: (−∞; −2) ∪ (3; +∞).
6. x ≥ 1, а √(x − 1) ≤ 2, значит x ≤ 5. Ответ: [1; 5].
7. (x − 3)/(x + 1) ≥ 0 при x < −1 или x ≥ 3. Ответ: (−∞; −1) ∪ [3; +∞).
8. Сначала x > 1. Логарифм в знаменателе не равен нулю: √(x − 1) ≠ 1, то есть x ≠ 2. Ответ: (1; 2) ∪ (2; +∞).
9. 9 − x² ≥ 0 и √(9 − x²) ≥ 2. Отсюда 9 − x² ≥ 4, x² ≤ 5. Ответ: [−√5; √5].
10. При x ≥ −6 и x ≠ 1 дробь под внешним корнем неотрицательна только при x=−6 или x>1. Ответ: {−6} ∪ (1; +∞).

Взаимная проверка двух подходов

Для любого найденного интервала проверьте по одной внутренней точке и по одной запрещённой граничной точке. Например, в ln(√(x + 5)) число −5 не входит, хотя для обычного √(x + 5) оно допустимо. А в √(√(x + 6)/(x − 1)) точка −6 допустима: числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю, и внешний корень равен нулю.

Самая частая ошибка — сначала решить только подкоренное неравенство и забыть ограничения внешней операции. При проверке преподаватель оценивает не только множество, но и запись всех условий с корректными строгими и нестрогими знаками.

Запись граничных точек

В квадратном корне нуль под знаком корня разрешён: √0 = 0. Поэтому у функции √(x − 3) точка 3 включается. Но если этот же корень расположен в знаменателе или служит аргументом логарифма, его значение должно быть строго положительным. Это объясняет различие между [3; +∞) и (3; +∞) для внешне похожих записей.

Не удаляйте автоматически все точки, в которых один из внутренних корней обращается в нуль. Например, функция √(√(x + 6)/(x − 1)) определена при x = −6: отрицательный знаменатель сам по себе допустим, потому что дробь с нулевым числителем равна нулю. Проверяйте значение целого выражения, а не знак отдельно взятого элемента. Для интервальной записи заранее определите, строгий или нестрогий знак получился из каждого ограничения.