Определение общего множества решений при дробных коэффициентах — тематические карточки для 8 класса

8 класс · Алгебра · Неравенства. Цель: научиться обосновывать пересечение решений двух линейных неравенств с дробными коэффициентами, включая пустое множество и единственную общую точку.

Сомнительное утверждение: «если оба неравенства верны по отдельности, система всегда имеет решение»

Это неверно. Система требует одновременного выполнения двух условий. Например, условия x > 3 и x < 2 каждое по отдельности выполнимы, но общих чисел нет. Коэффициенты 1/2, −3/4 и 5/6 не меняют принцип: сперва каждый знак приводят к условию на x, затем пересекают найденные промежутки.

Если умножаем или делим обе части неравенства на отрицательное число, знак обязательно обращается. На этом шаге чаще всего возникает ошибка: из −x > −4 следует x < 4, а не x > 4. Деление на положительное число сохраняет знак. Никакие приблизительные десятичные дроби здесь не нужны: ответы удобно давать точными обыкновенными дробями.

Для системы с двумя ограничениями проверка состоит из трёх утверждений: каждое исходное условие эквивалентно полученной границе; границы пересечены, а не объединены; крайняя точка включена только при нестрогом знаке. Если одна граница больше другой, решений нет; если они равны, возможно одно решение или пустое множество.

Карточки для самостоятельного доказательства

В каждой карточке надо не только записать итог, но и объяснить знак, границы и вид ответа. Первые четыре пары удобно решать устно с дробями; следующие содержат отрицательные коэффициенты и пограничные случаи.

Почему правило пересечения работает

Если множество первого неравенства обозначить A, а второго B, то для системы требуется x ∈ A и x ∈ B. Это означает x ∈ A ∩ B. На числовой прямой достаточно отметить оба множества и оставить их общую часть. Открытая скобка показывает, что крайняя точка не удовлетворяет строгому знаку. Например, x > 2 и x ≤ 5 дают (2; 5].

Полные решения и аргументы

1. № 1: первое неравенство даёт x > 7/3, второе — x ≤ −27/8. Пересечение: ∅. Хотя бы одно деление выполнялось на отрицательный коэффициент, поэтому направление соответствующего знака меняется. Нижняя граница противоречит верхней: ни одно число не подходит сразу к обоим условиям.
2. № 2: первое неравенство даёт x > −2, второе — x < 31/4. Пересечение: (−2; 31/4). Хотя бы одно деление выполнялось на отрицательный коэффициент, поэтому направление соответствующего знака меняется.
3. № 3: первое неравенство даёт x ≥ 4/5, второе — x < −9/2. Пересечение: ∅. Хотя бы одно деление выполнялось на отрицательный коэффициент, поэтому направление соответствующего знака меняется. Нижняя граница противоречит верхней: ни одно число не подходит сразу к обоим условиям.
4. № 4: первое неравенство даёт x ≤ 13/4, второе — x ≥ 14/3. Пересечение: ∅. Хотя бы одно деление выполнялось на отрицательный коэффициент, поэтому направление соответствующего знака меняется. Нижняя граница противоречит верхней: ни одно число не подходит сразу к обоим условиям.
5. № 5: первое неравенство даёт x < 32/3, второе — x > 12/5. Пересечение: (12/5; 32/3). Хотя бы одно деление выполнялось на отрицательный коэффициент, поэтому направление соответствующего знака меняется.
6. № 6: первое неравенство даёт x ≥ 2, второе — x ≤ 3. Пересечение: [2; 3]. Хотя бы одно деление выполнялось на отрицательный коэффициент, поэтому направление соответствующего знака меняется.
7. № 7: первое неравенство даёт x > −24/7, второе — x > −4/3. Пересечение: (−4/3; +∞). Хотя бы одно деление выполнялось на отрицательный коэффициент, поэтому направление соответствующего знака меняется.
8. № 8: первое неравенство даёт x < 9/4, второе — x > −4/3. Пересечение: (−4/3; 9/4). Хотя бы одно деление выполнялось на отрицательный коэффициент, поэтому направление соответствующего знака меняется.
9. № 9: первое неравенство даёт x ≥ 2, второе — x ≤ 1/3. Пересечение: ∅. Хотя бы одно деление выполнялось на отрицательный коэффициент, поэтому направление соответствующего знака меняется. Нижняя граница противоречит верхней: ни одно число не подходит сразу к обоим условиям.
10. № 10: первое неравенство даёт x < −1/2, второе — x < 15/4. Пересечение: (−∞; −1/2). Хотя бы одно деление выполнялось на отрицательный коэффициент, поэтому направление соответствующего знака меняется.
11. № 11: первое неравенство даёт x ≥ 5, второе — x ≤ 5. Пересечение: {5}. Хотя бы одно деление выполнялось на отрицательный коэффициент, поэтому направление соответствующего знака меняется. Обе нестрогие границы совпали: проверьте единственное число в первоначальной системе.
12. № 12: первое неравенство даёт x < 4/5, второе — x > 1/2. Пересечение: (1/2; 4/5). Хотя бы одно деление выполнялось на отрицательный коэффициент, поэтому направление соответствующего знака меняется.

Проверка особых случаев

При одинаковых граничных числах выражения x ≥ a и x ≤ a дают {a}; но x > a и x ≤ a дают пустое множество. Если одна проверка выполнена только приблизительно, строгая граница может быть потеряна. Поэтому сохраняйте дроби 1/3, 5/6 и другие в точном виде до последнего шага.

Критерий проверки тетради: правильное направление после преобразований; точное указание включённых концов; объяснение, почему берётся именно общая часть. Один удачно угаданный промежуток без этих обоснований не считается полным решением.