Определение общего множества решений при системе с противоположными ограничениями: математический практикум для 8 класса
8 класс. Практикум по типичным ошибкам. Начните не с правила, а с чужого ответа: «Из x > 3 и x ≤ 1 получается (1; 3]». Почему это неверно? Проверьте x = 2: выполнено ли x > 3? А x = 4: выполнено ли x ≤ 1? Попытка взять числа между границами не спасает противоречивую систему.
Содержание статьи5 разделов
Найдите и исправьте пять ошибок
В каждом номере ученик сделал неверный вывод. Запишите верный ответ и объясните причину хотя бы одним математическим предложением. Ошибки различаются: направление пересечения, скобка, одиночная точка, знак после деления и выбор более сильного ограничения.
| № | Система | Ошибочный ответ | Что проверяем |
|---|---|---|---|
| 1 | x > 3; x ≤ 1 | (1; 3] | Найдите ошибку и запишите пересечение |
| 2 | x ≥ −2; x < 4 | (−2; 4) | Найдите ошибку и запишите пересечение |
| 3 | x ≤ 5; x ≥ 5 | ∅ | Найдите ошибку и запишите пересечение |
| 4 | −2x < 6; x < 0 | x < −3 | Найдите ошибку и запишите пересечение |
| 5 | x > −1; x > 3 | (−1; 3) | Найдите ошибку и запишите пересечение |
Решение нужно проверять подстановкой в обе строки. В № 4 кроме неравенств есть отрицательный коэффициент — посмотрите на изменение знака. В № 3 нельзя объявлять пустое множество лишь потому, что два луча «смотрят в разные стороны».
Девять задач для закрепления
Задания № 6–14 решите самостоятельно. Запишите пересечение как интервал, одноточечное множество или ∅. Не используйте союз «или»: в системе оба ограничения действуют одновременно.
- № 6. x > −4 и x < 2.
- № 7. x ≥ 1 и x ≤ 6.
- № 8. x > 5 и x ≤ 5.
- № 9. x ≥ 0 и x < 0.
- № 10. x ≤ −3 и x ≥ −5.
- № 11. x > −2 и x ≤ −2.
- № 12. −3x ≥ 6 и x > −4.
- № 13. 2x < 8 и −x ≤ −1.
- № 14. x ≤ 7 и x > 9.
Дополнительный контроль: объясните устно, чем № 8 отличается от № 3 из предыдущей таблицы. В обоих случаях границы совпадают, но одна система содержит строгий знак, а другая допускает равенство.
Исправления с объяснениями
| № | Правильное пересечение | Причина ошибки |
|---|---|---|
| 1 | ∅ | Нижняя граница 3 правее верхней 1; ни одно x не удовлетворяет обеим строкам. |
| 2 | [−2; 4) | Знак ≥ включает −2, поэтому слева нужна квадратная скобка. |
| 3 | {5} | x = 5 выполняет обе строки; две нестрогие границы совпадают. |
| 4 | (−3; 0) | Деление на −2 даёт x > −3, затем пересекаем с x < 0. |
| 5 | (3; +∞) | Обе строки ограничивают снизу, более сильная — x > 3. |
Уточнение к № 1: запись (1; 3] была бы связана с другой системой — x > 1 и x ≤ 3. Менять местами числовые границы нельзя; нужно сохранять направление каждого ограничения.
В № 2 точка −2 действительно удовлетворяет x ≥ −2 и x < 4, поэтому её исключение создаёт неверный ответ. В № 4 проверка x = −1 подтверждает правильный интервал: 2 < 6 и −1 < 0. Проверка x = −4 опровергает ошибочный вариант: 8 < 6 неверно.
Как проверить пустое множество
Для № 8 одновременно требуются x > 5 и x ≤ 5; такая точка не существует. То же рассуждение применимо к № 9 и № 11: одна строка требует строгого выхода за границу, другая запрещает выход. В № 14 противоречие ещё явнее: нельзя быть больше 9 и одновременно не больше 7.
Если ответ кажется пустым, не достаточно проверить лишь x = 0 или x = 1. Докажите несовместимость границ. И наоборот, чтобы опровергнуть утверждение «решений нет», достаточно одной точки, выполняющей обе строки, например x = 5 в исправленном № 3.
Ключ к самостоятельной серии
| № | Ответ |
|---|---|
| 6 | (−4; 2) |
| 7 | [1; 6] |
| 8 | ∅ |
| 9 | ∅ |
| 10 | [−5; −3] |
| 11 | ∅ |
| 12 | (−4; −2] |
| 13 | [1; 4) |
| 14 | ∅ |
Проверка двух трудных номеров. № 12: −3x ≥ 6 ⇒ x ≤ −2, совместно с x > −4 получаем (−4; −2]. № 13: 2x < 8 ⇒ x < 4, а −x ≤ −1 ⇒ x ≥ 1, поэтому [1; 4).
Итоговая самопроверка: строгая граница исключается; нестрогая — включается; несовместимые требования дают ∅; при делении на отрицательное число знак переворачивается. В остальных случаях достаточно безошибочно найти общую часть полученных промежутков.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.