Определение ошибки преобразования при смене основания — математический практикум для 10 класса

Почему формулу смены основания легко записать наоборот

Проверяем подозрительное утверждение: «log₄8 = log₂4 / log₂8 = 2/3». Оно неверно: 4^3/2 = 8, поэтому результат 3/2. При переходе к основанию c отношение должно выглядеть так: log_ab = log_cb / log_ca. Числитель относится к аргументу b, знаменатель — к старому основанию a; местами их менять нельзя.

Формула справедлива при a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1. Иногда появляется ещё условие: при записи 1/log_ba число b также должно быть допустимым основанием, то есть b ≠ 1. Для числового контроля всегда можно вернуться к определению: log_ab = t означает a^t = b.

Формула перехода полезна именно тогда, когда исходное основание неудобно. Но если не проверить результат возведением в степень, ошибка с перевёрнутой дробью может остаться незамеченной. В каждом упражнении ниже есть запись ученика: определите, где потерялась правильная дробь или изменилось основание, затем дайте обоснованный ответ.

Уровень I — проверка числового значения

1. Ученик записал log₄8 = 2/3. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
2. Ученик записал log_1/28 = 3. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
3. Ученик записал log₉3 = 2. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
4. Ученик записал log₈2 = 3. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
5. Ученик записал log₂₅5 = 2. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
6. Ученик записал log₂(1/8) = 3. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
7. Ученик записал log_1/39 = 2. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
8. Ученик записал log₄(1/8) = 3/2. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.

Уровень II — сочетание нескольких оснований

9. Ученик записал log₁₆2 = 4. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
10. Ученик записал log_1/42 = 1/2. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
11. Ученик записал log₃81 = 1/4. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
12. Ученик записал log₅(1/125) = 3. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
13. Ученик записал log₁₂3 = log₂12 / log₂3. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
14. Ученик записал log₇2 = log₁₀7 / log₁₀2. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
15. Ученик записал log₂9 / log₂3 = log₉3. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
16. Ученик записал log₃2 · log₂81 = 1/4. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.

На этом уровне недостаточно сказать «дробь перевёрнута». Требуется указать, какое из двух чисел играет роль исходного основания, и при необходимости проверить степень. Для дробных и отрицательных ответов обязательно назовите знак результата.

Уровень III — условия применимости и буквенные выражения

17. Ученик записал log_ab = (ln a)/(ln b). Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
18. Ученик записал log_ab = 1/log_ba при b = 1. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
19. Ученик записал log_a²b = 2log_ab. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
20. Ученик записал log_1/ab = log_ab. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
21. Ученик записал log_a(b²) = (log_ab)². Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
22. Ученик записал log₂3 / log₅2 = log₅3. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
23. Ученик записал log₃27 / log₃9 = log₂₇9. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.
24. Ученик записал log_1/93 = 2. Укажите ошибку, восстановите формулу перехода к удобному основанию и проверьте результат.

На этом уровне недостаточно сказать «дробь перевёрнута». Требуется указать, какое из двух чисел играет роль исходного основания, и при необходимости проверить степень. Для дробных и отрицательных ответов обязательно назовите знак результата.

При буквах a, b в проверке укажите ОДЗ. Часть ошибок связана не с арифметикой, а с запрещённым основанием 1 или с неправильным смыслом логарифма степени. Формула смены основания не устраняет исходных ограничений.

Переход к основанию: четыре полных примера

Пример 1. Основание меньше единицы

Найдём log_1/48. Выберем новое основание 2: log₂8 / log₂(1/4) = 3/(−2) = −3/2. Проверим результат напрямую: (1/4)^−3/2 = 4^3/2 = 8. Если ошибочно поменять числитель и знаменатель, получится −2/3. Проверка степенью показывает, что это неверно. Когда основание лежит между 0 и 1, а аргумент больше 1, логарифм действительно отрицателен: это полезный тест знака.

Пример 2. Замена основания может упростить иррациональную запись

Рассмотрим log_√28. Поскольку √2 = 2^1/2, делим log₂8 = 3 на log₂√2 = 1/2. Получаем 6. Обратный контроль: (√2)⁶ = 2³ = 8. Ученик нередко умножает не ту часть выражения на 2 и записывает 3/2; чтобы избежать путаницы, полезно подписывать «аргумент» и «старое основание» над числителем и знаменателем дроби.

Пример 3. Не все основания разрешены

Преобразование log₅1 = 1/log₁5 неверно даже как символическая запись. Число 1 запрещено в качестве основания логарифма, поэтому правой части не существует. Исходный логарифм определён и равен 0, так как 5⁰ = 1. Здесь нельзя «исправить» ответ простым переворачиванием дроби: надо вернуться к допустимости каждой операции.

Пример 4. Не спутайте логарифм степени со степенью логарифма

При положительном b имеем log_a(b²) = 2 log_ab. Возьмём a = 2, b = 8. Левая часть равна log₂64 = 6; правильная правая — 2 · 3 = 6. Выражение (log₂8)² даёт 9, то есть не равно 6. Это отдельное правило о степени аргумента, а не формула смены основания. Для отрицательного b исходный логарифм квадрата может существовать, но log_ab уже не определён; тогда при b ≠ 0 пишут 2log_a|b|.

Перед сверкой ключа выделите в каждом из 24 пунктов одну проверяемую операцию. Укажите, где нарушен порядок логарифмов, где неправильно определён знак и где применена формула вне своей области. Если два ошибочных действия случайно дают правильное число, полноценным решением всё равно считается только объяснение корректной цепочки равенств.

Ответы и полный разбор характерных ошибок

1. 3/2. log₂8 / log₂4 = 3/2; проверка: 4^3/2 = 8.
2. −3. Поскольку (1/2)⁻³ = 8, ответ отрицательный.
3. 1/2. 9^1/2 = 3; перепутаны числитель и знаменатель.
4. 1/3. 8^1/3 = 2.
5. 1/2. 25^1/2 = 5.
6. −3. 2⁻³ = 1/8; аргумент между 0 и 1.
7. −2. (1/3)⁻² = 9.
8. −3/2. log₂(1/8) / log₂4 = −3/2.
9. 1/4. 16^1/4 = 2.
10. −1/2. (1/4)^−1/2 = 2.
11. 4. 3⁴ = 81.
12. −3. 5⁻³ = 1/125.
13. log₂3 / log₂12. В числителе обязан стоять логарифм аргумента, в знаменателе — основания.
14. log₁₀2 / log₁₀7. Доли обратны; проверка: 7^log₇2 = 2.
15. log₃9 = 2. По формуле перехода отношение означает log₃9, а не log₉3.
16. 4. Логарифмы телескопически сокращаются: log₃81 = 4.
17. (ln b)/(ln a). При a > 0, a ≠ 1, b > 0. Неверно обращать отношение.
18. 0, но обратная формула неприменима. log_a1 = 0; log₁a не определён, так как 1 не бывает основанием.
19. (1/2)log_ab. Если a > 0, a ≠ 1, b > 0, логарифм по a² имеет знаменатель 2ln a.
20. −log_ab. ln(1/a) = −ln a; a > 0, a ≠ 1.
21. 2log_ab. При b > 0 правило степени даёт множитель 2, не квадрат логарифма.
22. (log₂3)(log₂5). Числитель и знаменатель имеют разные основания; log₅2 = 1/log₂5.
23. 3/2. log₉27 = 3/2, поскольку 9^3/2 = 27.
24. −1/2. (1/9)^−1/2 = 3.

Контрольное доказательство

Пусть t = log_ab. Тогда a^t = b; берём логарифм обеих частей по допустимому основанию c: t · log_ca = log_cb. Так как a ≠ 1, логарифм log_ca не равен нулю, следовательно, t = log_cb / log_ca. Доказательство объясняет порядок числителя и знаменателя и пригодно для проверки любого задания выше.