Определение параметра касания для касательной параллельно заданной прямой — самостоятельная работа, 11 класс

Математика · 11 класс. Прикладной практикум: по таблице квадратичной зависимости определяем момент, в котором касательная параллельна заданному направлению.

Ситуация: что означает параметр касания на графике величин?

Инженер сравнивает направление касательной к графику величины H(t) с наклоном контрольной прямой y = kt + b. Условие параллельности — H′(t) = k. Это определяет абсциссу касания t, а не точку пересечения двух кривых. Если t обозначает время, в ответ включают единицу «секунда»; у контрольной прямой коэффициент k измеряется в единицах H на единицу t.

Разгон тестового квадрокоптера на схематичном графике высоты

По табличным значениям можно восстановить квадратичную модель H(t) = −t² + 6t + 2, где t лежит на отрезке [0; 6]. Все величины условные; при реальном эксперименте модель нужно проверять по измерениям.

Для этой модели решите четыре вопроса, используя таблицу и производную.

1. Найдите параметр t, при котором касательная к H(t) параллельна контрольной прямой с угловым коэффициентом 4. Укажите, допустим ли такой момент в заданном интервале.
2. Найдите параметр t, при котором касательная к H(t) параллельна контрольной прямой с угловым коэффициентом 2. Укажите, допустим ли такой момент в заданном интервале.
3. Найдите параметр t, при котором касательная к H(t) параллельна контрольной прямой с угловым коэффициентом 0. Укажите, допустим ли такой момент в заданном интервале.
4. Найдите параметр t, при котором касательная к H(t) параллельна контрольной прямой с угловым коэффициентом −4. Укажите, допустим ли такой момент в заданном интервале.

Изменение условного уровня воды в демонстрационном резервуаре

По табличным значениям можно восстановить квадратичную модель H(t) = −2t² + 12t + 4, где t лежит на отрезке [0; 6]. Все величины условные; при реальном эксперименте модель нужно проверять по измерениям.

Для этой модели решите четыре вопроса, используя таблицу и производную.

1. Найдите параметр t, при котором касательная к H(t) параллельна контрольной прямой с угловым коэффициентом 8. Укажите, допустим ли такой момент в заданном интервале.
2. Найдите параметр t, при котором касательная к H(t) параллельна контрольной прямой с угловым коэффициентом 4. Укажите, допустим ли такой момент в заданном интервале.
3. Найдите параметр t, при котором касательная к H(t) параллельна контрольной прямой с угловым коэффициентом 0. Укажите, допустим ли такой момент в заданном интервале.
4. Найдите параметр t, при котором касательная к H(t) параллельна контрольной прямой с угловым коэффициентом −8. Укажите, допустим ли такой момент в заданном интервале.

Высота демонстрационной подъёмной платформы над настилом

По табличным значениям можно восстановить квадратичную модель H(t) = −t² + 4t + 5, где t лежит на отрезке [0; 4]. Все величины условные; при реальном эксперименте модель нужно проверять по измерениям.

Для этой модели решите четыре вопроса, используя таблицу и производную.

1. Найдите параметр t, при котором касательная к H(t) параллельна контрольной прямой с угловым коэффициентом 2. Укажите, допустим ли такой момент в заданном интервале.
2. Найдите параметр t, при котором касательная к H(t) параллельна контрольной прямой с угловым коэффициентом 0. Укажите, допустим ли такой момент в заданном интервале.
3. Найдите параметр t, при котором касательная к H(t) параллельна контрольной прямой с угловым коэффициентом −2. Укажите, допустим ли такой момент в заданном интервале.
4. Найдите параметр t, при котором касательная к H(t) параллельна контрольной прямой с угловым коэффициентом 6. Укажите, допустим ли такой момент в заданном интервале.

Разбор всех двенадцати вопросов

1. Решение. H′(t) = −2t + 6. Равенство наклонов −2t + 6 = 4 даёт t = 1. На отрезке [0; 6] точка допустима, высота H(t) = 7.
2. Решение. H′(t) = −2t + 6. Равенство наклонов −2t + 6 = 2 даёт t = 2. На отрезке [0; 6] точка допустима, высота H(t) = 10.
3. Решение. H′(t) = −2t + 6. Равенство наклонов −2t + 6 = 0 даёт t = 3. На отрезке [0; 6] точка допустима, высота H(t) = 11.
4. Решение. H′(t) = −2t + 6. Равенство наклонов −2t + 6 = −4 даёт t = 5. На отрезке [0; 6] точка допустима, высота H(t) = 7.
5. Решение. H′(t) = −4t + 12. Равенство наклонов −4t + 12 = 8 даёт t = 1. На отрезке [0; 6] точка допустима, высота H(t) = 14.
6. Решение. H′(t) = −4t + 12. Равенство наклонов −4t + 12 = 4 даёт t = 2. На отрезке [0; 6] точка допустима, высота H(t) = 20.
7. Решение. H′(t) = −4t + 12. Равенство наклонов −4t + 12 = 0 даёт t = 3. На отрезке [0; 6] точка допустима, высота H(t) = 22.
8. Решение. H′(t) = −4t + 12. Равенство наклонов −4t + 12 = −8 даёт t = 5. На отрезке [0; 6] точка допустима, высота H(t) = 14.
9. Решение. H′(t) = −2t + 4. Равенство наклонов −2t + 4 = 2 даёт t = 1. На отрезке [0; 4] точка допустима, высота H(t) = 8.
10. Решение. H′(t) = −2t + 4. Равенство наклонов −2t + 4 = 0 даёт t = 2. На отрезке [0; 4] точка допустима, высота H(t) = 9.
11. Решение. H′(t) = −2t + 4. Равенство наклонов −2t + 4 = −2 даёт t = 3. На отрезке [0; 4] точка допустима, высота H(t) = 8.
12. Решение. Уравнение H′(t) = 6 даёт t = −1, но он лежит вне [0; 4]. Поэтому в рассматриваемом физическом промежутке касания с данным наклоном нет.

Как проверить разумность

Если модель описывает зависимость на фиксированном отрезке, подстановка t вне диапазона не даёт допустимого ответа на прикладной вопрос, даже когда алгебраическое уравнение решено правильно. При максимуме квадратичной кривой производная равна нулю; касательная горизонтальна. Для вогнутой вниз параболы производная уменьшается при росте t: наклоны в начале и конце опыта закономерно различаются.

Дополнительная проверка: вычислите наклон в соседних точках таблицы через разность высот и сравните со знаком точной производной. Средняя скорость изменения на отрезке не обязана совпадать с мгновенной производной в любой его точке. Именно поэтому задача требует не просто измерений, а восстановления параметра касания.

Самопроверка: Проверяйте область допустимых значений параметра и единицы: правильное t вне интервала модели не подходит.