Определение параметра касания для нормали к графику параболы: задачи с решениями для 11 класса

Математика · 11 класс. Два контрастных набора: сначала восстановление абсциссы по известному наклону нормали, затем геометрические условия и исключения.

Два разных входа в одну задачу

В первом варианте известен угловой коэффициент нормали n. При n ≠ 0 нормаль перпендикулярна касательной, значит f′(t) = −1/n. Для параболы f(x) = ax² + bx + c с a ≠ 0 это даёт t = (−1/n − b)/(2a). После определения t подставляют точку в уравнение нормали.

Во втором варианте информация о нормали дана геометрически: она параллельна или перпендикулярна другой прямой, а иногда вертикальна. Сначала переводим словесное условие в требование к наклону, затем ищем параметр t. Исключение: при f′(t) = 0 нормаль вертикальна, и формула −1/f′(t) применять нельзя.

Вариант А — по числовому коэффициенту нормали (8 задач)

1. Для параболы y = x² + 1 найти абсциссу t точки, в которой нормаль имеет коэффициент наклона n = −1/2. Выпишите нормаль в этой точке.
2. Для параболы y = 2x² − x найти абсциссу t точки, в которой нормаль имеет коэффициент наклона n = −1/3. Выпишите нормаль в этой точке.
3. Для параболы y = x² + 2x найти абсциссу t точки, в которой нормаль имеет коэффициент наклона n = 1/2. Выпишите нормаль в этой точке.
4. Для параболы y = −x² + 4 найти абсциссу t точки, в которой нормаль имеет коэффициент наклона n = 1/4. Выпишите нормаль в этой точке.
5. Для параболы y = 1/2x² + x + 1 найти абсциссу t точки, в которой нормаль имеет коэффициент наклона n = −1. Выпишите нормаль в этой точке.
6. Для параболы y = −2x² + 2x найти абсциссу t точки, в которой нормаль имеет коэффициент наклона n = 1/2. Выпишите нормаль в этой точке.
7. Для параболы y = x² − 4x + 1 найти абсциссу t точки, в которой нормаль имеет коэффициент наклона n = −1/6. Выпишите нормаль в этой точке.
8. Для параболы y = 2x² − 1 найти абсциссу t точки, в которой нормаль имеет коэффициент наклона n = −1/8. Выпишите нормаль в этой точке.

Вариант Б — по направлению и особым условиям (8 задач)

1. У параболы y = x² нормаль параллельна прямой y = −x/4 + 3. Найдите контакт.
2. Для y = x² + 4x + 1 определите точку, где нормаль параллельна y = x + 8.
3. Для y = 2x² − 3 найдите контакт, если нормаль перпендикулярна прямой y = 4x − 7.
4. Для y = −x² + 1 найдите точку, где нормаль перпендикулярна прямой y = −2x + 3.
5. Для y = x² − 2x + 4 найдите абсциссу, в которой нормаль вертикальна.
6. Для y = 2x² + 2x + 2 найдите абсциссу, где нормаль горизонтальна (обычная прямая y = const).
7. Для y = −2x² + 8x найдите контакт, где нормаль параллельна вертикальной прямой x = 7.
8. Для y = x² + x найдите контакт, при котором нормаль имеет нулевой наклон.

Ключ варианта А с точными вычислениями

1. Решение. f′(t) = 2x. Поскольку n = −1/2 ≠ 0, должно быть f′(t) = −1/n = 2. Отсюда t = 1, f(t) = 2, нормаль: y = −1/2x + 5/2.
2. Решение. f′(t) = 4x − 1. Поскольку n = −1/3 ≠ 0, должно быть f′(t) = −1/n = 3. Отсюда t = 1, f(t) = 1, нормаль: y = −1/3x + 4/3.
3. Решение. f′(t) = 2x + 2. Поскольку n = 1/2 ≠ 0, должно быть f′(t) = −1/n = −2. Отсюда t = −2, f(t) = 0, нормаль: y = 1/2x + 1.
4. Решение. f′(t) = −2x. Поскольку n = 1/4 ≠ 0, должно быть f′(t) = −1/n = −4. Отсюда t = 2, f(t) = 0, нормаль: y = 1/4x − 1/2.
5. Решение. f′(t) = x + 1. Поскольку n = −1 ≠ 0, должно быть f′(t) = −1/n = 1.00000000000000. Отсюда t = 0, f(t) = 1, нормаль: y = −x + 1.
6. Решение. f′(t) = −4x + 2. Поскольку n = 1/2 ≠ 0, должно быть f′(t) = −1/n = −2. Отсюда t = 1, f(t) = 0, нормаль: y = 1/2x − 1/2.
7. Решение. f′(t) = 2x − 4. Поскольку n = −1/6 ≠ 0, должно быть f′(t) = −1/n = 6. Отсюда t = 5, f(t) = 6, нормаль: y = −1/6x + 41/6.
8. Решение. f′(t) = 4x. Поскольку n = −1/8 ≠ 0, должно быть f′(t) = −1/n = 8. Отсюда t = 2, f(t) = 7, нормаль: y = −1/8x + 29/4.

Ключ варианта Б с пояснениями к особым случаям

1. Решение. Наклон касательной должен быть 4. Решаем f′(t) = 4: t = 2. Получаем f(t) = 4, нормаль: y = −1/4x + 9/2.
2. Решение. Наклон касательной должен быть −1. Решаем f′(t) = −1: t = −5/2. Получаем f(t) = −11/4, нормаль: y = x − 1/4.
3. Решение. Наклон касательной должен быть 4. Решаем f′(t) = 4: t = 1. Получаем f(t) = −1, нормаль: y = −1/4x − 3/4.
4. Решение. Наклон касательной должен быть −2. Решаем f′(t) = −2: t = 1. Получаем f(t) = 0, нормаль: y = 1/2x − 1/2.
5. Решение. Вертикальная нормаль соответствует горизонтальной касательной, поэтому f′(t) = 0. Из 2x − 2 = 0 получаем t = 1; f(t) = 3, нормаль x = 1.
6. Решение. Для параболы y = ax² + bx + c (a ≠ 0) касательная в каждой точке имеет конечный наклон f′(t), а нормаль либо конечный ненулевой, либо вертикальная при f′(t) = 0. Горизонтальной нормали нет: она потребовала бы вертикальную касательную.
7. Решение. Вертикальная нормаль соответствует горизонтальной касательной, поэтому f′(t) = 0. Из −4x + 8 = 0 получаем t = 2; f(t) = 8, нормаль x = 2.
8. Решение. Для параболы y = ax² + bx + c (a ≠ 0) касательная в каждой точке имеет конечный наклон f′(t), а нормаль либо конечный ненулевой, либо вертикальная при f′(t) = 0. Горизонтальной нормали нет: она потребовала бы вертикальную касательную.

Взаимная проверка и типичные ловушки

Если нормаль имеет наклон n = −1/2, наклон касательной равен 2, а не +1/2 и не −2. Если нормаль параллельна прямой y = 3x + 1, у неё наклон 3; касательная тогда должна иметь наклон −1/3. Если нормаль перпендикулярна прямой наклона 4, то касательная параллельна этой прямой: её наклон 4.

Нулевая нормаль как вектор и горизонтальная нормаль как прямая — разные понятия. У обычной параболы с конечной производной нормаль никогда не горизонтальна: у неё ненулевой конечный наклон или она вертикальна. Проверяйте и точку касания, и произведение наклонов, когда оба коэффициента существуют.

Самопроверка: Удостоверьтесь, что в вычислениях не делили на нулевую производную; вертикальная нормаль определяется отдельно.