Определение параметра касания при известной точке касания — математический практикум для 11 класса

Математика, 11 класс. Здесь задана абсцисса точки касания, а неизвестный коэффициент восстанавливается по условию на наклон или на саму касательную. Задания специально разделяют сведения о точке графика и о направлении прямой.

Цель: различать равенство производной угловому коэффициенту прямой и условие принадлежности точки графику; обосновывать единственность или невозможность параметра.

Таблица условий: восстановите коэффициент, а не только подставьте число

В заданиях 1–6 приведено только направление касательной. Координату y₀ надо вычислить по найденному параметру: иначе провести касательную правильно невозможно.

Почему метод работает

Если функция дифференцируема при x₀, наклон её касательной определяется производной: k = f′ₚ(x₀). Для квадратичного семейства fₚ(x)=x²+px+c получаем f′ₚ(x)=2x+p, поэтому p=k−2x₀. После этого надо проверить точку (x₀; fₚ(x₀)) и использовать y=fₚ(x₀)+k(x−x₀). Одно лишь совпадение наклонов не означает, что заданная прямая касается графика: она должна проходить через точку касания.

Задания 1–6. Наклон и точка

1. У функции fₚ(x) = x² + p·x + 1 в точке x₀ = -3 касательная имеет наклон k = -4. Найдите p, ординату точки касания и свободный член уравнения касательной.
2. У функции fₚ(x) = x² + p·x + 4 в точке x₀ = -2 касательная имеет наклон k = -5. Найдите p, ординату точки касания и свободный член уравнения касательной.
3. У функции fₚ(x) = x² + p·x − 2 в точке x₀ = 0 касательная имеет наклон k = 3. Найдите p, ординату точки касания и свободный член уравнения касательной.
4. У функции fₚ(x) = x² + p·x + 3 в точке x₀ = 1 касательная имеет наклон k = -1. Найдите p, ординату точки касания и свободный член уравнения касательной.
5. У функции fₚ(x) = x² + p·x в точке x₀ = 2 касательная имеет наклон k = 8. Найдите p, ординату точки касания и свободный член уравнения касательной.
6. У функции fₚ(x) = x² + p·x − 5 в точке x₀ = 3 касательная имеет наклон k = 4. Найдите p, ординату точки касания и свободный член уравнения касательной.

Исследование: параметр при x²

1. Рассмотрите fₚ(x) = p x² + 3x − 2; касательная при x₀=-2 имеет наклон 7. Найдите p и саму касательную.
2. Рассмотрите fₚ(x) = p x² − 4x − 1; касательная при x₀=1 имеет наклон 0. Найдите p и саму касательную.
3. Рассмотрите fₚ(x) = p x² + 5x + 0; касательная при x₀=2 имеет наклон 9. Найдите p и саму касательную.
4. Рассмотрите fₚ(x) = p x² − 6x + 1; касательная при x₀=3 имеет наклон -18. Найдите p и саму касательную.

Здесь k=2px₀+b. Делить на 2x₀ можно только при x₀≠0. В точке x₀=0 наклон равен b при любом p; поэтому направление касательной там само по себе не определяет параметр при x². Это важное ограничение метода, а не вычислительная мелочь.

Задания со скрытым противоречием

1. Для fₚ(x)=x³+p x + 1 в точке x₀=2 наклон касательной равен 9. Найдите p и уравнение касательной. Проверьте результат подстановкой.
2. Для fₚ(x)=x³+p x − 2 в точке x₀=-1 наклон касательной равен 7. Найдите p и уравнение касательной. Проверьте результат подстановкой.
3. Для fₚ(x)=x³+p x + 3 в точке x₀=1 наклон касательной равен 8. Найдите p и уравнение касательной. Проверьте результат подстановкой.
4. Для fₚ(x)=x²+p x + 1 утверждается, что прямая y=−x − 3 касается графика при x₀=-2. Найдите p из наклона и проверьте условие прохождения через точку.
5. Для fₚ(x)=x²+p x + 4 утверждается, что прямая y=5 касается графика при x₀=1. Найдите p из наклона и проверьте условие прохождения через точку.
6. Для fₚ(x)=x²+p x − 1 утверждается, что прямая y=6x − 10 касается графика при x₀=3. Найдите p из наклона и проверьте условие прохождения через точку.

Ключ с проверкой и причинами расхождений

1. p = 2; точка (-3; 4); касательная y = −4x − 8. Проверка: f′ₚ(-3) = 2·(-3) + (2) = -4, fₚ(-3) = 4.
2. p = -1; точка (-2; 10); касательная y = −5x. Проверка: f′ₚ(-2) = 2·(-2) + (-1) = -5, fₚ(-2) = 10.
3. p = 3; точка (0; -2); касательная y = 3x − 2. Проверка: f′ₚ(0) = 2·(0) + (3) = 3, fₚ(0) = -2.
4. p = -3; точка (1; 1); касательная y = −x + 2. Проверка: f′ₚ(1) = 2·(1) + (-3) = -1, fₚ(1) = 1.
5. p = 4; точка (2; 12); касательная y = 8x − 4. Проверка: f′ₚ(2) = 2·(2) + (4) = 8, fₚ(2) = 12.
6. p = -2; точка (3; -2); касательная y = 4x − 14. Проверка: f′ₚ(3) = 2·(3) + (-2) = 4, fₚ(3) = -2.
7. p = (7 − (3))/(2·(-2)) = -1; y₀ = -12; касательная y = 7x + 2.
8. p = (0 − (-4))/(2·(1)) = 2; y₀ = -3; касательная y = −3.
9. p = (9 − (5))/(2·(2)) = 1; y₀ = 14; касательная y = 9x − 4.
10. p = (-18 − (-6))/(2·(3)) = -2; y₀ = -35; касательная y = −18x + 19.
11. p=9−3·(2)²=-3; fₚ(2)=3; y = 9x − 15. Прямая проходит через (2; 3).
12. p=7−3·(-1)²=4; fₚ(-1)=-7; y = 7x. Прямая проходит через (-1; -7).
13. p=8−3·(1)²=5; fₚ(1)=9; y = 8x + 1. Прямая проходит через (1; 9).
14. p=3. При x=-2 оба значения равны -1, наклоны совпадают (-1); утверждение верно.
15. По наклону p=-2. Но fₚ(1)=3, а прямая при x=1 даёт 5; это разные числа. Такого p для двух условий не существует.
16. p=0. При x=3 оба значения равны 8, наклоны совпадают (6); утверждение верно.

Проверка самоконтроля. В задачах 14–16 сначала зафиксируйте параметр из производной, затем проверьте значение функции в точке. Если равенство наклонов есть, но общая точка отсутствует, прямая не является касательной. Следовательно, 15-я задача не имеет решения в указанном семействе.

Разобранная проверка условий для заданной прямой

Предположим, что неизвестный параметр стоит у x, а график задан формулой fₚ(x)=x²+px+1. Известно: касательная в точке с абсциссой 2 параллельна прямой y=7x−4. Сначала находим производную 2x+p и записываем условие 4+p=7. Отсюда p=3. Но если задача просит именно касательную, а не только параметр, необходимо вычислить ординату: f₃(2)=4+6+1=11. Поэтому касательная имеет вид y−11=7(x−2), или y=7x−3. Две прямые параллельны, но не совпадают: свободные члены −3 и −4 различны.

Теперь изменим всего одно число: вместо параллельности потребуем, чтобы сама прямая y=7x−4 была касательной в x=2. Уравнение производной по-прежнему даёт p=3, но при x=2 на указанной прямой получается 10, а на графике 11. Следовательно, параметра, удовлетворяющего обоим условиям, нет. Так проявляется разница между определением наклона и определением касания. Если полученные значения противоречат друг другу, не следует подгонять p вторым уравнением: решение должно удовлетворять им одновременно.

В задачах с коэффициентом перед x² полезно отдельно обсудить случай x₀=0. Например, для fₚ(x)=px²+5x−1 производная при нуле всегда равна 5. Никакое значение p не изменит наклон там; условие «касательная при x=0 имеет наклон 5» выполняется для любого p, а условие «наклон 3» не выполняется ни для одного. Сложные вычисления здесь не нужны: требуется сначала выяснить, входит ли параметр в условие.

Ещё один практический приём контроля — подставить найденные значения обратно в исходное семейство, затем отдельно вычислить значение производной. Проверка только производной способна пропустить неверную высоту касательной, а проверка только точки — неверное направление. Две независимые проверки делают ответ устойчивым к ошибкам знака и переносу слагаемых.