Определение параметра при заданном корне рационального уравнения — тренажёр по математике, 8 класс

Мини-тест для 8 класса: параметр подбирают так, чтобы заранее указанное число действительно было корнем рационального уравнения. Не путайте найденное из равенства значение с допустимым: знаменатель после подстановки обязан быть ненулевым.

Короткий образец решения

Дано (x+b)/(x−4)=3 и заданный корень x=6. Подставляем x=6: (6+b)/2=3, следовательно b=0. Проверяем: 6−4=2 ≠ 0, а 6/2=3. Значит b=0 подходит.

Тест: выбрать, вычислить, объяснить

Все уравнения рассматриваются над действительными числами. Отмечайте случаи, когда параметр не существует; пустой знаменатель нельзя «исправить» подбором числителя.

1. Выбор ответа. При x = 5 уравнение (x+a)/(x−3) = 2 имеет корень при a = −1, 1 или 3?
2. Вычислите a, если x = 4 — корень (2x−1)/(x+a) = 3.
3. Найдите a: (x+2)/(x−a)=1, заданный корень x=6.
4. При x = 2 выполнено (ax−3)/(x+1)=2. Определите a.
5. При x = 4 дробь (x−a)/(x−1) равна нулю. Каков a?
6. Возможно ли выбрать a, чтобы x = 5 был корнем (x+a)/(x−5)=0?
7. Найдите a из (x²−a)/(x+2)=3, если x=1 — корень.
8. При x=−3 равенство (3x+a)/(x²−4)=2 верно. Найдите a.
9. Можно ли сделать x=2 корнем (x−2)/(x−a)=4 при каком-либо a?
10. Найдите a: (a+1)/(x−3)=x−1 при x=4.
11. Выберите верный параметр для x=3 в (x+a)/(x−a)=2: a=1 или a=3?
12. При x=5: (x−1)/(ax+2)=1/2. Вычислите a.
13. При x=−1: a/(x−1)=x+1. Определите a.
14. Может ли x=3 стать корнем (x+a)/(x²−9)=1? Объясните.
15. При x=−2: (ax+1)/(x+4)=−1. Найдите a.
16. Для x=2 решите (x²+a)/(x+1)=x−1 относительно a.

Лист ответов и разбор

1. a = −1: (5+a)/2 = 2, значит 5+a = 4. Знаменатель 5−3 = 2 ≠ 0.
2. a = −5/3: 7/(4+a)=3, откуда 4+a=7/3. При этом знаменатель равен 7/3 ≠ 0.
3. a = −2. Из 8/(6−a)=1 получаем 6−a=8; знаменатель 8 ≠ 0.
4. a = 9/2. Равенство (2a−3)/3=2 даёт 2a=9; знаменатель равен 3.
5. a = 4, поскольку 4−a=0 и 4−1=3 ≠ 0.
6. Нет. При x=5 знаменатель равен нулю при любом a; подстановка запрещена.
7. a = −8: (1−a)/3=3, то есть 1−a=9. При x=1 знаменатель 3.
8. a = 19: (−9+a)/5=2; x²−4=9−4=5 ≠ 0.
9. Нельзя. Если a≠2, левая часть равна 0, а не 4; если a=2, дробь не определена.
10. a = 2: (a+1)/1=3. ОДЗ при подстановке соблюдается.
11. a = 1: 3+a=2(3−a), откуда 3a=3. При a=3 знаменатель равен нулю и это не корень.
12. a = 6/5: 4/(5a+2)=1/2 даёт 5a+2=8 ≠ 0.
13. a = 0: a/(−2)=0, знаменатель не равен нулю.
14. Нет ни при каком a: x²−9=0 при x=3. Даже обнуление числителя не создаёт допустимого корня.
15. a = 3/2: (−2a+1)/2=−1, значит −2a+1=−2 и a=3/2.
16. a = −1: (4+a)/3=1, поэтому 4+a=3. Знаменатель 3 ≠ 0.

Три тонкости проверки

Первое: если заданное x обнуляет знаменатель, корня не будет при любом параметре — см. задания 6 и 14. Второе: при умножении уравнения на выражение, зависящее от параметра, нельзя забывать о его ненулевом значении: задания 2 и 11. Третье: нулевой числитель и нулевой знаменатель одновременно не означают ноль — это неопределённость, как в задании 9.

Проверка ученика: 1 балл за правильное значение или вывод «невозможно», 1 балл за обоснованную проверку ОДЗ. Всего 32 балла. Для повторения объясните, почему условия x+a=0 и x−5≠0 в задании 6 несовместимы с назначенным корнем x=5.