Определение последней операции выражения с тремя арифметическими действиями — задачи с решениями для 5 класса

Спорное утверждение: «Последней всегда считают операцию, чей знак стоит ближе к правому краю записи». Это неверно. Например, в записи 18 + 6 × 4 − 5 последним будет вычитание, но в 18 − 6 × 4 + 5 — сложение; положение умножения не определяет завершающий шаг. Важно понимать последовательность вычислений, а не угадывать по виду знака.

Карточка предназначена для 5 класса. Её цель — обосновать выбор последней операции в выражении ровно с тремя арифметическими действиями: +, −, ×, ÷. Нужно назвать действие, объяснить порядок и по возможности проверить значение выражения. Это не общий обзор всех правил вычислений, а тренировка одного конкретного решения.

Почему метод работает

Сначала выполняют выражения в скобках. Далее умножение и деление по порядку слева направо; только после них — сложение и вычитание, тоже слева направо. Поэтому последним оказывается то действие, к которому приводит полная последовательность допустимых шагов. Умножение может быть записано правее сложения, но фактически выполняться раньше него.

Для доказательства не обязательно сразу находить общий результат. Достаточно показать, какие части вычисляются раньше, а затем назвать действие, соединяющее уже полученные значения. Если на одном уровне стоят два действия одинакового приоритета, нельзя переставлять их местами: 24 − 8 + 3 = 19, а не 13. Сначала 24 − 8, затем прибавление 3.

Три коротких доказательства

Случай 1. 35 + 4 × 6 − 7. Сперва 4 × 6 = 24, затем 35 + 24 = 59, в конце 59 − 7 = 52. Последняя операция — вычитание. Она остаётся последней даже при том, что знак × расположен внутри записи.

Случай 2. (36 − 12) ÷ 6 × 5. Вначале скобка даёт 24. Затем 24 ÷ 6 = 4, после этого 4 × 5 = 20. Последнее действие — умножение; правило «все умножения до всех делений» здесь ошибочно. У них равный приоритет.

Случай 3. 80 ÷ (5 + 3) − 4. Сначала 5 + 3 = 8, затем 80 ÷ 8 = 10. Последним остаётся 10 − 4 = 6. Наличие сложения в скобках не делает его последним, поскольку скобка вычисляется до внешнего вычитания.

Двенадцать задач: определите последнее действие и докажите

Для каждого номера укажите не просто знак, а краткую цепочку: «сначала…, затем…, последним…». В задании ровно три арифметических действия, включая действия в скобках. Запишите также числовое значение.

1. 18 + 6 × 4 − 5. Какое действие будет последним? Подтвердите цепочкой и вычислите значение.
2. 72 ÷ 8 + 7 × 2. Какое действие будет последним? Подтвердите цепочкой и вычислите значение.
3. 45 − 12 ÷ 3 + 8. Какое действие будет последним? Подтвердите цепочкой и вычислите значение.
4. 6 × 7 − 15 + 9. Какое действие будет последним? Подтвердите цепочкой и вычислите значение.
5. 81 ÷ 9 × 2 + 5. Какое действие будет последним? Подтвердите цепочкой и вычислите значение.
6. 48 − 9 × 3 − 6. Какое действие будет последним? Подтвердите цепочкой и вычислите значение.
7. 25 + 18 − 4 × 7. Какое действие будет последним? Подтвердите цепочкой и вычислите значение.
8. 8 × (14 − 5) + 3. Какое действие будет последним? Подтвердите цепочкой и вычислите значение.
9. (42 − 18) ÷ 6 × 5. Какое действие будет последним? Подтвердите цепочкой и вычислите значение.
10. 96 ÷ (8 + 4) + 11. Какое действие будет последним? Подтвердите цепочкой и вычислите значение.
11. 60 − (7 + 3) × 4. Какое действие будет последним? Подтвердите цепочкой и вычислите значение.
12. 100 ÷ (9 − 4) − 7. Какое действие будет последним? Подтвердите цепочкой и вычислите значение.

Ответы с обоснованием

1. 18 + 6 × 4 − 5 — вычитание; ответ 37. Умножение 6 × 4 даёт 24; затем 18 + 24 = 42, а завершает вычисление 42 − 5.
2. 72 ÷ 8 + 7 × 2 — сложение; ответ 23. Частное 72 ÷ 8 и произведение 7 × 2 вычисляются раньше сложения двух результатов.
3. 45 − 12 ÷ 3 + 8 — сложение; ответ 49. 12 ÷ 3 = 4; потом 45 − 4 = 41. При сложении и вычитании движемся слева направо, поэтому завершает прибавление 8.
4. 6 × 7 − 15 + 9 — сложение; ответ 36. После 6 × 7 = 42 выполняется 42 − 15 = 27; в конце прибавляем 9.
5. 81 ÷ 9 × 2 + 5 — сложение; ответ 23. Деление и умножение одинакового приоритета: 81 ÷ 9 = 9, затем 9 × 2 = 18; в конце прибавляем 5.
6. 48 − 9 × 3 − 6 — вычитание; ответ 15. Сначала 9 × 3 = 27, далее 48 − 27 = 21, затем вычитаем 6.
7. 25 + 18 − 4 × 7 — вычитание; ответ 15. Правый множитель результата вычитания равен 28; отдельно 25 + 18 = 43. Последним вычитаем 28 из 43.
8. 8 × (14 − 5) + 3 — сложение; ответ 75. Сначала скобка: 14 − 5 = 9; затем умножение 8 × 9, после него прибавление 3.
9. (42 − 18) ÷ 6 × 5 — умножение; ответ 20. Разность в скобках равна 24; делим 24 на 6, затем умножаем на 5.
10. 96 ÷ (8 + 4) + 11 — сложение; ответ 19. В скобках 12; выполняем 96 ÷ 12 = 8. Последний шаг — прибавить 11.
11. 60 − (7 + 3) × 4 — вычитание; ответ 20. В скобках 10, далее 10 × 4 = 40. Только после этого вычитаем 40 из 60.
12. 100 ÷ (9 − 4) − 7 — вычитание; ответ 13. Разность 9 − 4 равна 5; 100 ÷ 5 = 20. Завершаем вычитанием 7.

Проверка особых случаев

Равный приоритет. Запись 36 ÷ 6 × 3 нельзя понимать как 36 ÷ (6 × 3). В первом случае последним будет умножение и получится 18; во втором последним будет деление и получится 2. Эти записи различаются именно скобками.

Внешняя операция и скобка. В выражении 45 − (18 ÷ 3 + 2) первым делом вычисляют внутреннее 18 ÷ 3 = 6, потом 6 + 2 = 8. Итоговая операция — вычитание: 45 − 8 = 37. Ошибка «последнее действие — сложение, ведь оно находится справа» нарушает правило приоритета скобок.

Не путайте последнее действие с самым важным. Если последний шаг — сложение, оно не обязательно самое трудное. Можно верно вычислить сложное частное, а затем ошибиться в простом добавлении. При проверке полезно разделять вопрос о порядке и вопрос о числовом ответе.

Как оформить доказательство, а не только ответ

Полезная запись состоит из трёх звеньев. Во-первых, назовите те операции, которые должны предшествовать другим в силу скобок или приоритета. Во-вторых, поясните, что осталось после их выполнения: одна пара чисел с одним знаком или ещё несколько равноприоритетных действий. В-третьих, покажите, почему именно названный знак исчезает из записи последним. Такой ответ можно проверить без догадок и споров о том, какой знак «главнее».

Например, к заданию 7 недостаточно написать «последняя операция — минус». Полное рассуждение звучит так: умножение 4 × 7 выполняется раньше сложения и вычитания; затем складываются 25 и 18; остаётся разность 43 и 28, следовательно, последняя операция — вычитание. При таком объяснении сразу видно, где ученик мог перепутать порядок.

А в задании 9 недостаточно сказать «умножение обычно раньше деления». Это неверное правило. Правильно указать: после вычисления скобок остаётся 24 ÷ 6 × 5; деление и умножение имеют равный приоритет и выполняются слева направо. Поэтому 24 ÷ 6 = 4 — предпоследний шаг, а 4 × 5 = 20 — последний.

Самостоятельное обоснование

Выберите любые четыре задания из списка и объясните их устно без вычисления конечного числа. Затем проверьте себя по ключу: доказательство должно ссылаться на скобки, приоритет и движение слева направо. Если последнее действие определено верно, но результат неверен, повторите арифметику; если ошибка именно в последнем действии, разметьте выражение на последовательные шаги.