Определение последней цифры степени для чисел с циклом последних цифр: рабочий лист для 7 класса

7 класс · мини-тест. Число может иметь сотни цифр, но для нахождения последней достаточно следить за последними цифрами последовательных степеней. Тест проверяет циклы длиной 1, 2 и 4; вычислять всю огромную степень не нужно.

Памятка на полях рабочего листа

Например, последние цифры степеней числа 7 идут так: 7, 9, 3, 1 и снова 7. Для 7²³ делим показатель 23 на 4: остаток 3, значит, выбираем третью цифру цикла — 3. Если остаток нулевой, выбираем последнюю цифру цикла, а не первую. Здесь рассматриваются положительные основания и натуральные показатели больше нуля: нулевая степень и отрицательное основание изучаются в отдельных карточках.

Мини-тест — 13 вопросов

1. Определите последнюю цифру числа 2¹⁷. Выпишите короткий цикл единиц и объясните выбор.
2. Определите последнюю цифру числа 3²⁸. Выпишите короткий цикл единиц и объясните выбор.
3. Определите последнюю цифру числа 7¹⁵. Выпишите короткий цикл единиц и объясните выбор.
4. Ученик ответил, что последняя цифра 8⁴² равна 6. Проверьте и исправьте, указав цикл.
5. Определите последнюю цифру числа 9¹⁰¹. Выпишите короткий цикл единиц и объясните выбор.
6. Не возводя 4 в большую степень, найдите последнюю цифру 4³⁷ и запишите остаток от деления показателя на длину цикла.
7. Определите последнюю цифру числа 6²⁷⁵. Выпишите короткий цикл единиц и объясните выбор.
8. Определите последнюю цифру числа 12³⁴. Выпишите короткий цикл единиц и объясните выбор.
9. Ученик ответил, что последняя цифра 23¹⁹ равна 9. Проверьте и исправьте, указав цикл.
10. Определите последнюю цифру числа 17⁵⁰. Выпишите короткий цикл единиц и объясните выбор.
11. Определите последнюю цифру числа 38⁴¹. Выпишите короткий цикл единиц и объясните выбор.
12. Не возводя 29 в большую степень, найдите последнюю цифру 29⁵⁶ и запишите остаток от деления показателя на длину цикла.
13. Определите последнюю цифру числа 72¹⁰¹. Выпишите короткий цикл единиц и объясните выбор.

Оценивание: за каждое верное значение — 1 балл, за правильное объяснение с длиной цикла — ещё 1 балл. Максимум 26 баллов. 23–26 — уверенное владение алгоритмом; 17–22 — надо повторить работу с остатками; 0–16 — сначала выпишите циклы для 2, 3, 7 и 8 и повторите тест.

Ответы и разбор спорных случаев

1. Последние цифры повторяются циклом «2, 4, 8, 6» (длина 4). Показатель 17 даёт позицию 1 в цикле; последняя цифра — 2.
2. Последние цифры повторяются циклом «3, 9, 7, 1» (длина 4). Показатель 28 даёт позицию 4 в цикле; последняя цифра — 1.
3. Последние цифры повторяются циклом «7, 9, 3, 1» (длина 4). Показатель 15 даёт позицию 3 в цикле; последняя цифра — 3.
4. Последние цифры повторяются циклом «8, 4, 2, 6» (длина 4). Показатель 42 даёт позицию 2 в цикле; последняя цифра — 4.
5. Последние цифры повторяются циклом «9, 1» (длина 2). Показатель 101 даёт позицию 1 в цикле; последняя цифра — 9.
6. Последние цифры повторяются циклом «4, 6» (длина 2). Показатель 37 даёт позицию 1 в цикле; последняя цифра — 4.
7. Последние цифры повторяются циклом «6» (длина 1). Показатель 275 даёт позицию 1 в цикле; последняя цифра — 6.
8. Последние цифры повторяются циклом «2, 4, 8, 6» (длина 4). Показатель 34 даёт позицию 2 в цикле; последняя цифра — 4.
9. Последние цифры повторяются циклом «3, 9, 7, 1» (длина 4). Показатель 19 даёт позицию 3 в цикле; последняя цифра — 7.
10. Последние цифры повторяются циклом «7, 9, 3, 1» (длина 4). Показатель 50 даёт позицию 2 в цикле; последняя цифра — 9.
11. Последние цифры повторяются циклом «8, 4, 2, 6» (длина 4). Показатель 41 даёт позицию 1 в цикле; последняя цифра — 8.
12. Последние цифры повторяются циклом «9, 1» (длина 2). Показатель 56 даёт позицию 2 в цикле; последняя цифра — 1.
13. Последние цифры повторяются циклом «2, 4, 8, 6» (длина 4). Показатель 101 даёт позицию 1 в цикле; последняя цифра — 2.

Частые ошибки: записывать весь показатель вместо остатка при делении на длину цикла; считать, что остаток 0 указывает на первую цифру; путать последнюю цифру числа с суммой цифр. При изменении основания с 2 на 12 цикл сохраняется, поскольку начальные последние цифры одинаковы; это позволяет переносить правило на многозначные основания.