Определение последней цифры степени для произведения степеней трёх множителей — тематические карточки для 7 класса

7 класс · короткая диагностика и карточки. Здесь каждый пример содержит произведение ровно трёх степеней. Навык состоит из двух действий: определить единицы каждой степени по её циклу и перемножить найденные цифры. Полное вычисление высоких степеней не требуется.

Три контрольных вопроса

1. Вычислите последнюю цифру произведения 2¹³ · 3⁸ · 7¹¹, рассматривая каждый множитель отдельно.
2. Ученик сложил последние цифры трёх степеней в произведении 4¹⁵ · 5⁷ · 9¹². Обнаружьте ошибку и вычислите правильно.
3. Определите, можно ли найти последнюю цифру 8²³ · 3¹⁴ · 6⁵, не вычисляя показатели полностью. Запишите промежуточные цифры.

Не складывайте последние цифры множителей: при умножении последняя цифра произведения определяется произведением последних цифр. Например, для 2³·3²·7³ получим 8, 9 и 3; 8·9·3=216, значит, последняя цифра равна 6. Это пример проверки правила, а не одно из основных заданий.

Новые задания — переход от простого к сложному

1. Вычислите последнюю цифру произведения 7¹⁸ · 2¹⁷ · 9²¹, рассматривая каждый множитель отдельно.
2. Вычислите последнюю цифру произведения 12³¹ · 13²² · 17⁹, рассматривая каждый множитель отдельно.
3. Проверьте запись произведения 3²⁵ · 8¹³ · 11⁶: какие последние цифры трёх множителей и какой единичный разряд получившегося произведения?
4. Вычислите последнюю цифру произведения 9⁴¹ · 4¹⁶ · 7²⁹, рассматривая каждый множитель отдельно.
5. Вычислите последнюю цифру произведения 6¹² · 7¹³ · 8¹⁴, рассматривая каждый множитель отдельно.
6. Вычислите последнюю цифру произведения 23²⁰ · 14¹¹ · 12³³, рассматривая каждый множитель отдельно.
7. Проверьте запись произведения 5¹⁹ · 2²⁶ · 7¹⁵: какие последние цифры трёх множителей и какой единичный разряд получившегося произведения?
8. Вычислите последнюю цифру произведения 13³⁷ · 9²⁴ · 8⁵⁵, рассматривая каждый множитель отдельно.
9. Вычислите последнюю цифру произведения 7⁹⁹ · 3⁵⁸ · 4¹⁷, рассматривая каждый множитель отдельно.

Работайте по краткой схеме: для каждого основания возьмите последнюю цифру; выпишите цикл, найдите позицию показателя; запишите три полученные цифры; умножьте и возьмите единицы результата. Если среди них есть 0, произведение оканчивается на 0; если присутствует 5 вместе с чётным множителем, итог тоже оканчивается на 0. Такие наблюдения помогают проверить ответ ещё до подробного вычисления.

Быстрый ключ

1. Последние цифры множителей: 2, 1, 3. Произведение последних цифр равно 2·1·3=6; последняя цифра ответа 6.
2. Последние цифры множителей: 4, 5, 1. Произведение последних цифр равно 4·5·1=20; последняя цифра ответа 0.
3. Последние цифры множителей: 2, 9, 6. Произведение последних цифр равно 2·9·6=108; последняя цифра ответа 8.
4. Последние цифры множителей: 9, 2, 9. Произведение последних цифр равно 9·2·9=162; последняя цифра ответа 2.
5. Последние цифры множителей: 8, 9, 7. Произведение последних цифр равно 8·9·7=504; последняя цифра ответа 4.
6. Последние цифры множителей: 3, 8, 1. Произведение последних цифр равно 3·8·1=24; последняя цифра ответа 4.
7. Последние цифры множителей: 9, 6, 7. Произведение последних цифр равно 9·6·7=378; последняя цифра ответа 8.
8. Последние цифры множителей: 6, 7, 4. Произведение последних цифр равно 6·7·4=168; последняя цифра ответа 8.
9. Последние цифры множителей: 1, 4, 2. Произведение последних цифр равно 1·4·2=8; последняя цифра ответа 8.
10. Последние цифры множителей: 5, 4, 3. Произведение последних цифр равно 5·4·3=60; последняя цифра ответа 0.
11. Последние цифры множителей: 3, 1, 2. Произведение последних цифр равно 3·1·2=6; последняя цифра ответа 6.
12. Последние цифры множителей: 3, 9, 4. Произведение последних цифр равно 3·9·4=108; последняя цифра ответа 8.

Пояснение к трудным пунктам: произведение можно группировать в любом порядке — сначала перемножить первые две последние цифры и оставить только единицы, затем умножить на третью. Это работает, потому что при умножении десятки и сотни не влияют на цифру единиц. Проверяя свой ответ, достаточно последовательно заменить каждую степень её последней цифрой; если эти три цифры найдены правильно, последний шаг является обычным однозначным умножением.