Определение последней цифры степени при отрицательном основании: математический практикум для 7 класса

7 класс · углублённый практикум и обратная проверка. Отрицательное основание добавляет к задаче один вопрос — знак степени, но не меняет последнюю цифру десятичной записи по модулю числа. Упражнения посвящены именно степеням отрицательного целого числа, где основание заключено в скобки.

Разобранный пример и проверка обратным ходом

Рассмотрим (−7)¹¹. Поскольку показатель нечётный, всё число отрицательное. Его модуль равен 7¹¹. Последние цифры степеней семёрки повторяются: 7, 9, 3, 1. Делим 11 на 4, получаем остаток 3; значит, последняя цифра записи модуля равна 3. Итак, (−7)¹¹ — отрицательное число, оканчивающееся цифрой 3 (пишется с минусом слева). Обратная проверка: для показателя 3 число (−7)³=−343, последняя цифра тоже 3; прибавление к показателю кратного четырём не меняет её.

Не путайте два разных понятия. Последняя цифра отрицательного целого числа в обычной десятичной записи — цифра справа, например у −343 это 3. А неотрицательный остаток от деления −343 на 10 равен 7. Обе величины могут использоваться в математике, но отвечают на разные вопросы. В этой статье спрашивается только последняя цифра записи целого числа.

Первый набор: поменялся показатель

1. Найдите знак и последнюю цифру целого числа (−2)¹¹. Проверьте по циклу для |−2|.
2. Найдите знак и последнюю цифру целого числа (−3)¹⁴. Проверьте по циклу для |−3|.
3. Ошибка ученика: «у (−7)⁹ последняя цифра равна 3», он перепутал последнюю цифру с неотрицательным остатком отрицательного числа по модулю 10. Найдите верный ответ и объясните разницу.
4. Найдите знак и последнюю цифру целого числа (−8)¹². Проверьте по циклу для |−8|.
5. Найдите знак и последнюю цифру целого числа (−6)²⁷. Проверьте по циклу для |−6|.
6. Сравните последние цифры (−9)²⁵ и 9²⁵. Совпадают ли они, и каков знак первой степени?
7. Найдите знак и последнюю цифру целого числа (−12)¹⁸. Проверьте по циклу для |−12|.

Сначала найдите чётность показателя, затем определите длину цикла для модуля основания. Можно записать два независимых вывода: «знак минус» и «последняя цифра 7». Не обязательно вычислять само огромное число. Такой способ позволяет контролировать ошибку отдельно в знаке и отдельно в цикле.

Изменённое условие: многозначные отрицательные основания

1. Ошибка ученика: «у (−14)³³ последняя цифра равна 6», он перепутал последнюю цифру с неотрицательным остатком отрицательного числа по модулю 10. Найдите верный ответ и объясните разницу.
2. Найдите знак и последнюю цифру целого числа (−17)⁴⁴. Проверьте по циклу для |−17|.
3. Найдите знак и последнюю цифру целого числа (−23)⁵⁷. Проверьте по циклу для |−23|.
4. Сравните последние цифры (−28)³¹ и 28³¹. Совпадают ли они, и каков знак первой степени?
5. Найдите знак и последнюю цифру целого числа (−31)¹⁵. Проверьте по циклу для |−31|.
6. Ошибка ученика: «у (−42)¹⁰¹ последняя цифра равна 8», он перепутал последнюю цифру с неотрицательным остатком отрицательного числа по модулю 10. Найдите верный ответ и объясните разницу.

Если основания −17 и −7, их положительные модули имеют одну и ту же последнюю цифру 7 и одинаковый цикл единиц степеней. Но сами значения степеней различаются. Для определения только последней цифры хватает единиц основания; для полного числа или сравнения величин — нет.

Самостоятельная серия и пояснение ошибки

1. Найдите знак и последнюю цифру целого числа (−53)²⁸. Проверьте по циклу для |−53|.
2. Найдите знак и последнюю цифру целого числа (−64)²³. Проверьте по циклу для |−64|.
3. Найдите знак и последнюю цифру целого числа (−77)⁴⁰. Проверьте по циклу для |−77|.

Вспомните порядок действий: у (−2)⁵ отрицательным является всё основание и степень отрицательна; у −2⁵ минус стоит снаружи и совпадает знак только случайно для нечётного показателя. Для чётных показателей записи (−2)⁴ и −2⁴ имеют разные знаки. В наших заданиях скобки всегда явно указаны, поэтому неоднозначности нет.

Ответы с обратной проверкой цикла

1. Показатель 11 — нечётный, значит, значение отрицательно; при этом последняя цифра числа без знака совпадает с 2¹¹ и равна 8. Цикл 2, 4, 8, 6; позиция 3.
2. Показатель 14 — чётный, значит, значение положительно; при этом последняя цифра числа без знака совпадает с 3¹⁴ и равна 9. Цикл 3, 9, 7, 1; позиция 2.
3. Показатель 9 — нечётный, значит, значение отрицательно; при этом последняя цифра числа без знака совпадает с 7⁹ и равна 7. Цикл 7, 9, 3, 1; позиция 1.
4. Показатель 12 — чётный, значит, значение положительно; при этом последняя цифра числа без знака совпадает с 8¹² и равна 6. Цикл 8, 4, 2, 6; позиция 4.
5. Показатель 27 — нечётный, значит, значение отрицательно; при этом последняя цифра числа без знака совпадает с 6²⁷ и равна 6. Цикл 6; позиция 1.
6. Показатель 25 — нечётный, значит, значение отрицательно; при этом последняя цифра числа без знака совпадает с 9²⁵ и равна 9. Цикл 9, 1; позиция 1.
7. Показатель 18 — чётный, значит, значение положительно; при этом последняя цифра числа без знака совпадает с 12¹⁸ и равна 4. Цикл 2, 4, 8, 6; позиция 2.
8. Показатель 33 — нечётный, значит, значение отрицательно; при этом последняя цифра числа без знака совпадает с 14³³ и равна 4. Цикл 4, 6; позиция 1.
9. Показатель 44 — чётный, значит, значение положительно; при этом последняя цифра числа без знака совпадает с 17⁴⁴ и равна 1. Цикл 7, 9, 3, 1; позиция 4.
10. Показатель 57 — нечётный, значит, значение отрицательно; при этом последняя цифра числа без знака совпадает с 23⁵⁷ и равна 3. Цикл 3, 9, 7, 1; позиция 1.
11. Показатель 31 — нечётный, значит, значение отрицательно; при этом последняя цифра числа без знака совпадает с 28³¹ и равна 2. Цикл 8, 4, 2, 6; позиция 3.
12. Показатель 15 — нечётный, значит, значение отрицательно; при этом последняя цифра числа без знака совпадает с 31¹⁵ и равна 1. Цикл 1; позиция 1.
13. Показатель 101 — нечётный, значит, значение отрицательно; при этом последняя цифра числа без знака совпадает с 42¹⁰¹ и равна 2. Цикл 2, 4, 8, 6; позиция 1.
14. Показатель 28 — чётный, значит, значение положительно; при этом последняя цифра числа без знака совпадает с 53²⁸ и равна 1. Цикл 3, 9, 7, 1; позиция 4.
15. Показатель 23 — нечётный, значит, значение отрицательно; при этом последняя цифра числа без знака совпадает с 64²³ и равна 4. Цикл 4, 6; позиция 1.
16. Показатель 40 — чётный, значит, значение положительно; при этом последняя цифра числа без знака совпадает с 77⁴⁰ и равна 1. Цикл 7, 9, 3, 1; позиция 4.

Проверьте любой ответ ещё раз: уменьшите показатель на длину цикла, не меняя его положительности. Последняя цифра должна остаться прежней; чётность показателя может измениться, если бы длина цикла была нечётной, но у использованных циклов её длина 1, 2 или 4, и знак всегда определяют отдельно по исходному показателю.