Определение последней цифры степени с нулевым показателем — задачи с решениями для 7 класса

7 класс · таблица и проверка условий. Задание на внимательность: при каком основании нулевая степень равна единице, когда выражение не имеет определённого школьного значения и как меняется результат при переносе скобок? Здесь важно не перепутать основание степени и знак перед степенью.

Таблица для первичной проверки

Для любого ненулевого числа a верно a⁰=1. Это согласуется с правилом деления одинаковых степеней: a³/a³ = a⁰, но такое деление допустимо только при a ≠ 0. Если a=0, знаменатель равен нулю, и доказательство перестаёт работать. По школьному соглашению 0⁰ оставляют неопределённым; это не то же самое, что 0¹ или 1⁰.

Сначала условия, затем вычисления

Выполните таблицу проверки: укажите основание, показатель, существование значения и последнюю цифру получившегося целого числа. Если результат отрицательный, последней цифрой десятичной записи называют последнюю цифру записи модуля числа: у −1 последняя цифра 1. Если выражение не определено, цифру назвать нельзя.

1. Вычислите 7⁰ и найдите последнюю цифру результата, если значение определено. Если ответ отрицательный, последняя цифра указывается без знака.
2. Вычислите (−12)⁰ и найдите последнюю цифру результата, если значение определено. Если ответ отрицательный, последняя цифра указывается без знака.
3. Запись −12⁰. Найдите значение и обязательно объясните роль скобок и области определения.
4. Можно ли вычислить (8−8)⁰ по правилу «любая нулевая степень равна 1»? Объясните.
5. Вычислите 0⁵ и найдите последнюю цифру результата, если значение определено. Если ответ отрицательный, последняя цифра указывается без знака.
6. Вычислите (5−3)⁰ и найдите последнюю цифру результата, если значение определено. Если ответ отрицательный, последняя цифра указывается без знака.
7. Запись (−2+2)⁰. Найдите значение и обязательно объясните роль скобок и области определения.
8. Вычислите (2⁰)(9⁰) и найдите последнюю цифру результата, если значение определено. Если ответ отрицательный, последняя цифра указывается без знака.

Поиск противоречия: где ученик потерял скобки?

Утверждения «−12⁰=1» и «(−12)⁰=−1» неверны одновременно. В первом случае степень вычисляют раньше внешнего минуса, во втором — всё отрицательное число является основанием. Разные записи имеют разные результаты, но в обоих случаях показатель равен нулю.

1. Вычислите 2⁰+9⁰ и найдите последнюю цифру результата, если значение определено. Если ответ отрицательный, последняя цифра указывается без знака.
2. Вычислите (−3)⁰+(−4)⁰ и найдите последнюю цифру результата, если значение определено. Если ответ отрицательный, последняя цифра указывается без знака.
3. Можно ли вычислить (0³)⁰ по правилу «любая нулевая степень равна 1»? Объясните.
4. Запись (3−7)⁰·0. Найдите значение и обязательно объясните роль скобок и области определения.
5. Вычислите (4−4)³ и найдите последнюю цифру результата, если значение определено. Если ответ отрицательный, последняя цифра указывается без знака.
6. Вычислите −(−5)⁰ и найдите последнюю цифру результата, если значение определено. Если ответ отрицательный, последняя цифра указывается без знака.
7. Вычислите (−2)⁰−2⁰ и найдите последнюю цифру результата, если значение определено. Если ответ отрицательный, последняя цифра указывается без знака.
8. Вычислите (10−9)⁰+(9−10)⁰ и найдите последнюю цифру результата, если значение определено. Если ответ отрицательный, последняя цифра указывается без знака.

Подробный ключ для учителя

1. 7⁰: 1. 7 ≠ 0, поэтому 7⁰=1. Последняя цифра — 1.
2. (−12)⁰: 1. Основание −12 не равно нулю; его нулевая степень равна 1. Последняя цифра — 1.
3. −12⁰: −1. Без скобок показатель относится к 12: −(12⁰)=−1. Последняя цифра — 1.
4. (8−8)⁰: не определено. В скобках ноль; в школьной арифметике 0⁰ не определяют. Последней цифры нет, поскольку значение не определено.
5. 0⁵: 0. Нулевая степень положительного показателя 5 равна 0. Последняя цифра — 0.
6. (5−3)⁰: 1. Основание равно 2, значит, нулевая степень равна 1. Последняя цифра — 1.
7. (−2+2)⁰: не определено. Основание 0; правило a⁰=1 требует a ≠ 0. Последней цифры нет, поскольку значение не определено.
8. (2⁰)(9⁰): 1. Оба основания ненулевые, произведение 1·1=1. Последняя цифра — 1.
9. 2⁰+9⁰: 2. Сумма равна 1+1=2; она не является одной нулевой степенью. Последняя цифра — 2.
10. (−3)⁰+(−4)⁰: 2. Каждое слагаемое равно 1, сумма 2. Последняя цифра — 2.
11. (0³)⁰: не определено. Сначала 0³=0, значит, получаем 0⁰. Последней цифры нет, поскольку значение не определено.
12. (3−7)⁰·0: 0. Основание −4 ненулевое, поэтому 1·0=0. Последняя цифра — 0.
13. (4−4)³: 0. Это нулевая третья степень, показатель положителен. Последняя цифра — 0.
14. −(−5)⁰: −1. Сначала (−5)⁰=1, затем внешний минус. Последняя цифра — 1.
15. (−2)⁰−2⁰: 0. 1−1=0: противоположность оснований при нулевом показателе не меняет значения. Последняя цифра — 0.
16. (10−9)⁰+(9−10)⁰: 2. Основания 1 и −1 оба ненулевые: 1+1=2. Последняя цифра — 2.

Важное замечание: вопрос о последней цифре имеет смысл лишь после того, как установлено существование и значение выражения. Нельзя применить цикл последних цифр для положительных степеней к нулевому показателю без проверки основания. Проверяйте по порядку: скобки → основание → условие a ≠ 0 → значение → последняя цифра.