Определение расстояния между целыми числами для противоположных и соседних чисел — тематические карточки для 6 класса

Класс: 6. Формат: готовые задания для урока или самостоятельной работы; все ответы приведены ниже.

В этой серии важно не только найти длину, но и восстановить координаты по расстоянию. У противоположных чисел равные модули и разные знаки (кроме нуля). Соседние целые числа отличаются на единицу; они не обязательно противоположны.

Базовый пример с обратной проверкой

Даны точки −7 и +7. Между ними 14 единиц, потому что |7 − (−7)| = 14. Обратный вопрос: если известны только расстояние 14 и условие «точки противоположны», то координаты обязаны быть −7 и +7: половина расстояния равна 7.

Для соседних чисел другая логика: расстояние всегда равно 1, но по одной длине нельзя определить сами координаты — существует бесконечно много пар, например −10 и −9 или 31 и 32.

Карточка А. Найди и проверь: 1–4

1. Точки −9 и +9. Вычислите расстояние и проверьте его движением через нуль.
2. Точки 17 и −17. Запишите длину отрезка между ними без рисунка.
3. Соседние целые числа −4 и −3: найдите расстояние и проверьте сложением шага.
4. Точки 0 и 1: можно ли считать числа соседними и какова длина отрезка?

Ключ к карточке А

1. |9 − (−9)| = 18. От −9 до 0 девять единиц и от 0 до 9 ещё девять; всего 18.
2. Противоположные числа равноудалены от нуля: 17 + 17 = 34.
3. |−3 − (−4)| = 1; −4 + 1 = −3.
4. Да, между 0 и 1 нет другого целого числа. Расстояние 1.

Карточка Б. Обратная задача: 5–8

1. Расстояние от −a до a равно 22. Найдите положительное целое a и обе координаты.
2. Точки противоположны и лежат на расстоянии 46 единиц. Укажите обе.
3. Соседние числа x и x + 1, причём x = −15. Найдите второе число и расстояние.
4. Пара противоположных целых чисел находится на расстоянии 19. Возможна ли она? Обоснуйте.

Подсказка для проверки: расстояние между −a и a при целых a всегда чётное: 2|a|. Если получилось нечётное, надо проверить, возможно ли условие вообще.

Решения карточки Б

1. 2a = 22, следовательно, a = 11. Точки −11 и +11; проверка: |11 − (−11)| = 22.
2. Каждая расположена на 23 единицы от нуля: −23 и +23; 23 + 23 = 46.
3. x + 1 = −14. Расстояние |−14 − (−15)| = 1.
4. Нет, для целого a расстояние между −a и a равно 2|a|, то есть чётное целое число. 19 нечётно.

Карточка В. Измени условие: 9–12

1. Измените условие: у пары −12 и +12 правую точку сдвинули на 1 единицу вправо. Каково расстояние?
2. Левую точку пары −8 и +8 передвинули на 1 вправо. Стали ли точки противоположными? Найдите расстояние.
3. Между соседними числами −1 и 0 расстояние 1. Замените 0 на +1: что изменилось?
4. От точки −6 до соседней справа точки сделали три единичных шага вправо. Назовите конечную координату и расстояние.

Решения карточки В

1. Новая правая координата +13. Длина |13 − (−12)| = 25; было 24, стало на 1 больше.
2. Слева теперь −7, справа +8. Они не противоположные, так как модули разные. Длина 8 − (−7) = 15.
3. Получаем −1 и +1 — противоположные числа; расстояние выросло с 1 до 2.
4. −6 + 3 = −3, расстояние между началом и концом равно 3. Конечная точка не соседняя исходной.

Карточка Г. Объясни чужую ошибку: 13–16

1. Запишите любую пару соседних отрицательных целых чисел, одно из которых равно −20, и проверьте расстояние.
2. Точки противоположны, а одна имеет координату 0. Определите вторую и расстояние.
3. Ученик утверждает: «Расстояние между −5 и +5 равно нулю, ведь их сумма равна нулю». Исправьте рассуждение.
4. Точки на расстоянии 1 обязательно противоположны? Приведите пример и сделайте вывод.

Ключ к карточке Г

1. Возможны −21 и −20 либо −20 и −19. В обоих случаях модуль разности равен 1.
2. Число, противоположное нулю, — сам 0. Вторая точка совпадает с первой, расстояние 0.
3. Сумма равна нулю, но расстояние вычисляют по разности координат: |5 − (−5)| = 10.
4. Нет: например, 6 и 7 находятся на расстоянии 1, но не противоположны. Пара противоположных целых чисел с расстоянием 1 невозможна, так как её расстояние чётно.

Как провести обратную проверку

После вычисления расстояния верните найденную координату в исходное условие. Если точки «противоположны», проверка состоит из двух частей: их сумма равна нулю, а модуль разности равен заданной длине. Если точки «соседние», их разность по модулю равна 1 — независимо от положения относительно нуля.

Особый случай с нулём важен: у нуля нет отдельного отрицательного «двойника». Формально противоположный нулю равен нулю. Поэтому отрезок между нулём и противоположным ему числом имеет длину 0, а не 1.

Если задача требует целые координаты, обязательно проверяйте чётность расстояния между противоположными числами. Если расстояние нечетно, такую пару целых чисел нельзя восстановить. Для произвольных действительных координат это ограничение уже не работает; здесь рассматриваются именно целые числа.

Почему обратные задачи иногда имеют не один ответ

В задаче о противоположных числах достаточно назвать длину между точками и потребовать, чтобы координаты были целыми. В таком случае, если длина чётна, пара определяется однозначно с точностью до порядка записи: при расстоянии 34 получаются −17 и +17. Доказательство простое: обе точки удалены от нуля на одно и то же количество единиц, поэтому весь отрезок состоит из двух равных частей. Расстояние необходимо разделить на два. Если же длина 35, половина равна 17,5; числа уже не будут целыми. Следовательно, поставленная задача среди целых координат не имеет решения.

С соседними числами ситуация иная. Условие «расстояние равно 1» сообщает только длину одного шага, но не говорит, где этот шаг расположен на прямой. Если известно, что левая координата −20, правая обязана быть −19. Однако если сказано лишь «соседние отрицательные числа и одно из них −20», подходят две пары: −21 и −20, а также −20 и −19. Здесь важны слова «левое», «правое» и «одно из». Они задают дополнительное ограничение, без которого однозначного ответа нет.

Особый случай возникает около нуля. Пара −1 и 0 — соседняя, как и 0 и +1; при этом −1 и +1 — противоположная пара, но не соседняя. А числа −1 и +1 разделены нулём: отрезок имеет два единичных шага. Не путайте числа с противоположными знаками и числа, которые действительно противоположны друг другу: у −4 и +5 знаки разные, но модули 4 и 5 не равны.

Проверочные рассуждения без вычислительной ошибки

Пусть расстояние между противоположными числами равно 2n. Тогда координаты должны быть −n и +n, и проверка даёт |n − (−n)| = |2n| = 2n при n неотрицательном. Напротив, для соседних x и x + 1 всегда получаем |(x + 1) − x| = |1| = 1. Именно поэтому расстояния соседних чисел одинаковы, где бы ни находилась пара: справа от нуля, слева или рядом с ним.

Наконец, знак выражения «правая координата минус левая» всегда положителен для разных точек. Если порядок вычитания поменять, знак станет отрицательным, но длина отрезка не изменится. В обратной задаче вычисление с модулем помогает исключить ложный ответ «−18 единиц»: отрицательным бывает направленное перемещение, но не длина между точками.