Определение размеров участка по условиям на диагональ: задачи и решения для 8 класса

Проектировщик размечает прямоугольный участок: его диагональ измеряется по прямой между противоположными углами, а стороны проходят вдоль границ. Нужно определить размеры, когда диагональ известна вместе с другим условием — стороной, периметром, отношением или разностью. По одной диагонали размеры прямоугольника вообще не определяются однозначно.

Исходные наблюдения и математическая модель

Основная теорема: a² + b² = d², так как диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Длины положительны. Не путайте диагональ с периметром или площадью: диагональ — длина, а S = ab — площадь в квадратных единицах.

Сквозной пример: план участка возле школы

Измерены диагональ 13 м и общая длина ограждения 34 м. Полупериметр a + b = 17 м. По диагонали a² + b² = 169 м². Используем (a + b)² = a² + b² + 2ab: 289 = 169 + 2ab, следовательно ab = 60 м². Стороны — корни t² − 17t + 60 = 0, то есть 5 м и 12 м. Проверка: 5² + 12² = 169 м², 2(5 + 12) = 34 м. Площадь участка равна 60 м².

Здесь данные достаточны: два независимых условия определяют пару длин, хотя названия «ширина» и «длина» можно поменять местами. В реальном измерении небольшая погрешность длины не повод без проверки округлять корни до ближайших целых — в данных заданиях размеры считаем точными.

Задачи по данным наблюдений

Решите 16 задач. Для каждой составьте математическую модель, а в ответе укажите единицы измерения и проверьте исходное условие. В задачах с противоречивыми измерениями обоснуйте отказ от ответа.

1. Диагональ 5 м, одна сторона 3 м. Найдите другую сторону и площадь.
2. Диагональ 17 м и одна сторона 8 м. Найдите вторую сторону.
3. Диагональ 25 м, одна сторона 24 м. Какова ширина участка?
4. Диагональ 10 дм, одна сторона 6 дм. Найдите периметр.
5. Периметр 46 м, диагональ 17 м. Найдите размеры.
6. Периметр 62 м, диагональ 25 м. Найдите длину и ширину.
7. Периметр 52 м, диагональ 26 м. Найдите стороны.
8. Отношение сторон 3 : 4, диагональ 20 м. Найдите площадь.
9. Отношение сторон 5 : 12, диагональ 39 м. Найдите стороны.
10. Разность большей и меньшей стороны 1 м; диагональ 5 м. Найдите стороны.
11. Разность сторон 7 м, диагональ 13 м. Найдите размеры.
12. Диагональ 10 м, а заявленная сторона равна 12 м. Проверьте согласованность замеров.
13. При диагонали 13 м и периметре 40 м возможен прямоугольник?
14. Диагональ 29 м и одна сторона 20 м. Найдите вторую сторону и периметр.
15. Диагональ 30 м, отношение сторон 3 : 4. Найдите длины и площадь.
16. При диагонали 15 м и периметре 42 м найдите стороны или докажите невозможность.

Ключ инженера: восстановление размеров и проверка

1. 1. b = √(25 − 9) = 4 м; S = 3·4 = 12 м².
2. 2. b = √(289 − 64) = 15 м; проверка 8² + 15² = 289 м².
3. 3. √(625 − 576) = 7 м. Диагональ длиннее любой стороны.
4. 4. Вторая сторона 8 дм; P = 2·(6 + 8) = 28 дм.
5. 5. a + b = 23, ab = (23² − 17²)/2 = 120; числа 8 и 15 м, проверка 8² + 15² = 289.
6. 6. a + b = 31; ab = (31² − 25²)/2 = 168; стороны 7 и 24 м.
7. 7. a + b = 26; ab = (26² − 26²)/2 = 0. Положительных сторон нет: это вырожденный случай, прямоугольника не существует.
8. 8. Стороны 12 и 16 м: 3t, 4t, 5t=20 → t=4; площадь 192 м².
9. 9. Стороны 15 и 36 м: 13t = 39 → t = 3; проверка 225 + 1296 = 1521 м².
10. 10. Пусть a = меньшая сторона, b = a+1: a²+(a+1)²=25, 2a²+2a−24=0; a=3 или −4, отрицательный корень недопустим. Стороны 3 и 4 м.
11. 11. a²+(a+7)²=169 → 2a²+14a−120=0 → a²+7a−60=0; корни 5 и −12, допустим a=5. Стороны 5 и 12 м.
12. 12. Невозможно: b² = 100 − 144 = −44. Любая сторона прямоугольника короче диагонали.
13. 13. Нет: полупериметр 20, а (a+b)² = 400, тогда ab=(400−169)/2=115,5. Дискриминант t²−20t+115,5: 400−462 = −62, допустимых размеров нет. Также P ≤ 2√2·13 ≈ 36,77 м.
14. 14. Вторая сторона √(841−400)=21 м, P = 2·(20+21) = 82 м.
15. 15. Коэффициент 6, стороны 18 и 24 м, S=432 м²; контроль: √(324+576) = 30 м.
16. 16. a+b=21, ab=(441−225)/2=108; дискриминант 441−432=9, стороны (21±3)/2 = 9 и 12 м. Проверка 9²+12²=225, P=42.

Почему диагонали бывает недостаточно

Различные прямоугольники могут иметь одну диагональ. Например, пары сторон 3 и 4 м дают диагональ 5 м; если разрешены нецелые длины, существуют и другие пары a, b с a² + b² = 25. Поэтому запрос «найти стороны по диагонали 5 м» без дополнительных сведений неоднозначен. Нельзя самовольно считать участок квадратным.

Если известны и периметр, и диагональ, квадратное уравнение может оказаться несовместимым с положительными сторонами. Контролируйте D ≥ 0, a > 0 и b > 0. Случай с нулевой стороной не описывает полноценный участок: у него нет внутренней площади. Случай отрицательной стороны также не имеет геометрического смысла.

Для проверки единиц: a² и b² измеряются в м², их сумма равна d² тоже в м²; только после извлечения корня получаем длину в метрах. При вычислении S = ab результат уже в квадратных метрах. Площадь не следует записывать в метрах, даже если численно она совпала с диагональю.

Как оформить решение в тетради

Для участка с прямоугольной границей начните с подписи величин: a, b и d выражены в метрах, а S — в квадратных метрах. Нарисуйте прямоугольник и диагональ, отметьте прямой угол между соседними сторонами. Затем выпишите только два действительно известных условия. Например, если дана диагональ и отношение сторон, не вводите случайно третье условие о периметре: оно не следует из рисунка и может изменить ответ.

После составления модели решайте её алгебраически, проверяя область допустимых значений. Длины a и b обязаны быть положительными, диагональ d тоже положительна; в прямоугольнике d строго больше каждой стороны. Для фиксированной диагонали периметр не превышает 2√2·d, причём равенство достигается у квадрата. Это дополнительный способ распознать несогласованные измерения до детального решения.

В конце обязательно подставляйте найденные длины именно в те условия, которые были даны: при известной диагонали проверьте сумму квадратов, при заданном периметре — сумму сторон, при заданном отношении — частное сторон. Когда вычисляете площадь, сначала убедитесь, что стороны выражены в одинаковых линейных единицах. Такой контроль пригодится и при измерениях реальных площадок, и при работе с чертежом в учебнике.