Определение целой части неправильной дроби при ограничении на знаменатель: проверочная работа по математике, 5 класс

Проверочная работа для 5 класса · два варианта по 9 заданий. Цель: определить целую часть неправильной дроби, когда знаменатель разрешён не любой, а только из заданного списка или числового промежутка. У каждой задачи есть однозначный проверяемый ответ.

Памятка на половину листа

Для положительных целых чисел n и d дробь n/d неправильная, если n ≥ d. Чтобы найти её целую часть, разделите n на d с остатком: n = kd + r, где 0 ≤ r < d. Число k — искомая целая часть. Остаток не округляется вверх, даже если он почти равен знаменателю.

Если требуется подобрать знаменатель с заданной целой частью k, проверьте два ограничения одновременно: kd ≤ n < (k+1)d. Это означает, что k полных групп по d помещаются в n, а (k+1)-я уже не помещается. Не забудьте дополнительный диапазон допустимых d, установленный условием.

Пример. У дроби 32/d знаменатель разрешён от 5 до 9. При какой d целая часть равна 4? Нужны 4d ≤ 32 < 5d, то есть d ≤ 8 и d > 6,4. Подходят d = 7 и d = 8. Проверяем: 32/7 = 4 и 4/7, а 32/8 = 4 точно. Ответ не сводится к одному знаменателю.

Как оформлять: в заданиях с перечнем знаменателей запишите результат для каждого предложенного d. В задачах «найдите все» приведите весь набор, иначе даже один верный d не считается полным решением. В задачах на крайние значения обязательно подпишите, при каких d они достигаются.

Вариант А

Фамилия и имя __________________ Дата __________ Не пользуйтесь десятичным округлением. Каждый пункт — один самостоятельный номер. Можно делать пометки под задачами.

1. Числитель равен 29. Разрешены знаменатели 4, 5, 6. Для каждого знаменателя найдите целую часть дроби.
2. Числитель равен 37; знаменатель — натуральное число от 5 до 11 включительно. Найдите все знаменатели, при которых целая часть равна 5.
3. Числитель равен 41. Разрешены знаменатели 7, 8, 9. Для каждого знаменателя найдите целую часть дроби.
4. Числитель равен 48; знаменатель — натуральное число от 6 до 15 включительно. Найдите все знаменатели, при которых целая часть равна 4.
5. При числителе 55 знаменатель может быть только одним из чисел 5, 7, 9, 11. Найдите наибольшую и наименьшую возможную целую часть и укажите соответствующие знаменатели.
6. Числитель равен 34. Разрешены знаменатели 5, 6, 8. Для каждого знаменателя найдите целую часть дроби.
7. Числитель равен 62; знаменатель — натуральное число от 8 до 16 включительно. Найдите все знаменатели, при которых целая часть равна 6.
8. При числителе 47 знаменатель может быть только одним из чисел 6, 8, 10, 12. Найдите наибольшую и наименьшую возможную целую часть и укажите соответствующие знаменатели.
9. Числитель равен 53; знаменатель — натуральное число от 9 до 17 включительно. Найдите все знаменатели, при которых целая часть равна 3.

Вариант Б

Фамилия и имя __________________ Дата __________ Здесь другие числители и другие ограничения. Работайте самостоятельно, не копируя схему ответов соседа без проверки знаменателей.

1. Числитель равен 57. Разрешены знаменатели 8, 9, 10. Для каждого знаменателя найдите целую часть дроби.
2. Числитель равен 39; знаменатель — натуральное число от 4 до 13 включительно. Найдите все знаменатели, при которых целая часть равна 6.
3. При числителе 71 знаменатель может быть только одним из чисел 9, 11, 13, 15. Найдите наибольшую и наименьшую возможную целую часть и укажите соответствующие знаменатели.
4. Числитель равен 65. Разрешены знаменатели 7, 8, 9. Для каждого знаменателя найдите целую часть дроби.
5. Числитель равен 74; знаменатель — натуральное число от 8 до 19 включительно. Найдите все знаменатели, при которых целая часть равна 5.
6. Числитель равен 82. Разрешены знаменатели 10, 11, 12. Для каждого знаменателя найдите целую часть дроби.
7. Числитель равен 56; знаменатель — натуральное число от 9 до 18 включительно. Найдите все знаменатели, при которых целая часть равна 4.
8. При числителе 68 знаменатель может быть только одним из чисел 7, 9, 11, 13. Найдите наибольшую и наименьшую возможную целую часть и укажите соответствующие знаменатели.
9. Числитель равен 91; знаменатель — натуральное число от 11 до 20 включительно. Найдите все знаменатели, при которых целая часть равна 7.

Ключ к варианту А

1. Получаем 29/4 → 7, 29/5 → 5, 29/6 → 4.
2. Нужны целые d с 5d ≤ 37 < 6d, при 5 ≤ d ≤ 11. Ответ: 7.
3. Получаем 41/7 → 5, 41/8 → 5, 41/9 → 4.
4. Нужны целые d с 4d ≤ 48 < 5d, при 6 ≤ d ≤ 15. Ответ: 10, 11, 12.
5. Наибольшая целая часть 11 при d = 5; наименьшая 5 при d = 11.
6. Получаем 34/5 → 6, 34/6 → 5, 34/8 → 4.
7. Нужны целые d с 6d ≤ 62 < 7d, при 8 ≤ d ≤ 16. Ответ: 9, 10.
8. Наибольшая целая часть 7 при d = 6; наименьшая 3 при d = 12.
9. Нужны целые d с 3d ≤ 53 < 4d, при 9 ≤ d ≤ 17. Ответ: 14, 15, 16, 17.

Ключ к варианту Б

1. Получаем 57/8 → 7, 57/9 → 6, 57/10 → 5.
2. Нужны целые d с 6d ≤ 39 < 7d, при 4 ≤ d ≤ 13. Ответ: 6.
3. Наибольшая целая часть 7 при d = 9; наименьшая 4 при d = 15.
4. Получаем 65/7 → 9, 65/8 → 8, 65/9 → 7.
5. Нужны целые d с 5d ≤ 74 < 6d, при 8 ≤ d ≤ 19. Ответ: 13, 14.
6. Получаем 82/10 → 8, 82/11 → 7, 82/12 → 6.
7. Нужны целые d с 4d ≤ 56 < 5d, при 9 ≤ d ≤ 18. Ответ: 12, 13, 14.
8. Наибольшая целая часть 9 при d = 7; наименьшая 5 при d = 13.
9. Нужны целые d с 7d ≤ 91 < 8d, при 11 ≤ d ≤ 20. Ответ: 12, 13.

Разбор ошибок для учителя

Первое типичное затруднение: ученик видит интервал знаменателей и берёт только его концы. Но целая часть ступенчато меняется при целочисленном d, поэтому в задании «найдите все» необходимо проверить все подходящие целые значения внутри диапазона или обосновать их через неравенство.

Второе затруднение: дробь вроде 32/8 считают равной 3 и 8/8. Это неверно: остаток при делении должен быть меньше 8; правильная целая часть равна 4. Третье затруднение: при увеличении знаменателя ученик ожидает увеличения целой части, хотя при неизменном числителе происходит обратное.

Оценивание: за каждый номер — 1 балл; максимум 9 баллов за вариант. Для полного балла требуется верный список знаменателей либо все значения целых частей и соблюдение заданного ограничения. Использовать деление с остатком можно везде; рассуждение через неравенство особенно полезно в заданиях на подбор d.