Определение целой части неправильной дроби при заданной сумме числителя и знаменателя — карточки с ответами, 5 класс

Исследовательская карточка · 5 класс · 14 заданий. На этот раз числитель и знаменатель связаны суммой, но не нужно сравнивать дробь с двумя заданными границами. Нужно установить целую часть неправильной дроби и понять, как она меняется при сохранении суммы.

Наблюдение: одна сумма, четыре дроби

Известно: a + b = 29, a и b — натуральные числа, a ≥ b. Заполните таблицу: найдите числитель, составьте дробь a/b и запишите только её целую часть. В каждом пункте сумма должна оставаться равной 29.

Вопрос к наблюдению: почему увеличение знаменателя не обязательно изменяет целую часть на единицу? Возьмите два соседних возможных значения b и сравните. У дроби меняется не только знаменатель: из-за постоянной суммы одновременно уменьшается числитель. Поэтому на итог могут влиять оба изменения.

Сформулируйте правило своими словами

Из равенства a + b = S следует a = S − b. Тогда дробь имеет вид (S − b)/b. Если разделить S на b с остатком, получится S = qb + r, где 0 ≤ r < b. Вычитаем b: S − b = (q − 1)b + r. Поэтому целая часть (S − b)/b равна целой части S/b минус 1. Важная оговорка: мы рассматриваем положительный знаменатель и неправильную дробь a ≥ b.

Проверим правило на b = 5: 29 : 5 = 5 с остатком 4; значит 24/5 = 4 и 4/5. Целая часть на единицу меньше. Нельзя просто назвать целую часть 29/5 ответом для 24/5, хотя числитель и знаменатель вместе действительно дают 29.

Сформулируйте свой алгоритм из трёх шагов: найдите a, разделите a на b с остатком, проверьте сумму. Если ищете все подходящие знаменатели по уже заданной целой части, действуйте в обратном порядке: сначала определите область целых b, затем восстановите a.

Контрпримеры — задания 5–6

5. Ученик рассуждает: «Если a + b = 29 и b = 7, то целая часть a/b равна 4, потому что 29 : 7 = 4 (остаток 1)». Укажите неверный переход и правильный ответ. Сохранилась ли сумма после восстановления числителя?

6. Другой ученик при a + b = 36, b = 9 называет целую часть равной 4: «Ведь 36 : 9 = 4 точно». Исправьте ответ и объясните, почему здесь не нужно добавлять целую единицу из нулевого остатка.

Примените правило наоборот — задания 7–14

В каждом задании известно S и требуемая целая часть k. Подберите все положительные целые b так, чтобы a = S − b и дробь оставалась неправильной. Если получается несколько значений, перечислите их в порядке возрастания. После этого запишите соответствующие числители a.

7. a + b = 31; a, b — натуральные, a ≥ b. Найдите все значения знаменателя b, при которых целая часть дроби a/b равна 2. Затем запишите соответствующие числители.
8. a + b = 37; a, b — натуральные, a ≥ b. Найдите все значения знаменателя b, при которых целая часть дроби a/b равна 3. Затем запишите соответствующие числители.
9. a + b = 46; a, b — натуральные, a ≥ b. Найдите все значения знаменателя b, при которых целая часть дроби a/b равна 4. Затем запишите соответствующие числители.
10. a + b = 27; a, b — натуральные, a ≥ b. Найдите все значения знаменателя b, при которых целая часть дроби a/b равна 1. Затем запишите соответствующие числители.
11. a + b = 52; a, b — натуральные, a ≥ b. Найдите все значения знаменателя b, при которых целая часть дроби a/b равна 5. Затем запишите соответствующие числители.
12. a + b = 43; a, b — натуральные, a ≥ b. Найдите все значения знаменателя b, при которых целая часть дроби a/b равна 2. Затем запишите соответствующие числители.
13. a + b = 61; a, b — натуральные, a ≥ b. Найдите все значения знаменателя b, при которых целая часть дроби a/b равна 3. Затем запишите соответствующие числители.
14. a + b = 49; a, b — натуральные, a ≥ b. Найдите все значения знаменателя b, при которых целая часть дроби a/b равна 6. Затем запишите соответствующие числители.

Обсуждение результатов: почему ответ иногда состоит из нескольких пар?

При фиксированном S разные значения b могут давать одинаковое целочисленное частное a : b. Например, если a/b имеет целую часть 2, то выполняется 2b ≤ a < 3b. Подставив a = S − b, получим 3b ≤ S < 4b. Таким образом, b — не произвольное число, а натуральное значение внутри короткого промежутка. На границе 3b = S ответ допустим, а на границе S = 4b уже начинается следующая целая часть.

Этот приём удобен даже без алгебры: для каждого кандидата b можно проверить, укладываются ли в a ровно k полных групп по b и не укладывается ли ещё одна. Например, проверяя целую часть 3, сначала убедитесь, что 3b не превышает a, затем — что 4b уже больше a. Если оба утверждения верны, найденный знаменатель подходит.

Полезно различать две фразы: «числитель равен a» и «числитель и знаменатель в сумме дают S». Во втором случае числитель вычисляется заново при каждом изменении знаменателя. Ошибка в этой связи меняет саму дробь и делает последующую проверку бессмысленной.

Подробный ключ

Наблюдение, задания 1–4

1. b = 4, a = 29 − 4 = 25; 25/4 имеет целую часть 6 (остаток 1).
2. b = 5, a = 29 − 5 = 24; 24/5 имеет целую часть 4 (остаток 4).
3. b = 7, a = 29 − 7 = 22; 22/7 имеет целую часть 3 (остаток 1).
4. b = 10, a = 29 − 10 = 19; 19/10 имеет целую часть 1 (остаток 9).

Разбор контрпримеров, задания 5–6

5. Здесь a = 29 − 7 = 22, дробь 22/7 = 3 и 1/7; правильная целая часть 3, а не 4. Сумма 22 + 7 = 29 сохраняется. Ученик взял частное от суммы, а не от числителя.

6. Здесь a = 36 − 9 = 27, дробь 27/9 = 3 точно; целая часть 3. Результат 36/9 относится к сумме S, тогда как требуется (S−b)/b. Нулевой остаток не отменяет вычитания одной целой единицы.

Восстановление знаменателей, задания 7–14

7. b: 8, 9, 10; соответствующие a: 23, 22, 21. Проверка: при каждом таком b выполняется 2b ≤ 31 − b < 3b.
8. b: 8, 9; соответствующие a: 29, 28. Проверка: при каждом таком b выполняется 3b ≤ 37 − b < 4b.
9. b: 8, 9; соответствующие a: 38, 37. Проверка: при каждом таком b выполняется 4b ≤ 46 − b < 5b.
10. b: 10, 11, 12, 13; соответствующие a: 17, 16, 15, 14. Проверка: при каждом таком b выполняется 1b ≤ 27 − b < 2b.
11. b: 8; соответствующие a: 44. Проверка: при каждом таком b выполняется 5b ≤ 52 − b < 6b.
12. b: 11, 12, 13, 14; соответствующие a: 32, 31, 30, 29. Проверка: при каждом таком b выполняется 2b ≤ 43 − b < 3b.
13. b: 13, 14, 15; соответствующие a: 48, 47, 46. Проверка: при каждом таком b выполняется 3b ≤ 61 − b < 4b.
14. b: 7; соответствующие a: 42. Проверка: при каждом таком b выполняется 6b ≤ 49 − b < 7b.

Как проверить себя без готового ответа

Для найденной пары (a, b) проведите три короткие проверки. Первая: a + b равно указанной сумме? Вторая: a ≥ b > 0? Третья: если заявлена целая часть k, выполняется ли kb ≤ a < (k+1)b? Все три ответа должны быть «да». Этого достаточно, чтобы подтвердить кандидат, но для доказательства полноты списка нужно также исключить другие целые знаменатели из заданного диапазона.

Удобная памятка для обратного поиска: целая часть k означает (k+1)b ≤ S < (k+2)b. Это следует из замены a на S − b. Сначала отбирайте целые b по этому двойному ограничению, затем вычисляйте a. При маленьких суммах можно вместо этого последовательно перебирать b = 1, 2, 3 и так далее, останавливаясь до нарушения a ≥ b.