Определение целой части неправильной дроби в задаче с несколькими промежуточными долями: тренажёр для 5 класса

Тренажёр для 5 класса · 15 заданий. Во всех задачах знаменатель одинаков на каждом промежуточном шаге: сначала собираем несколько долей, иногда часть долей убираем, затем определяем целую часть получившейся неправильной дроби. Сокращать числитель и знаменатель до окончания действий необязательно.

Сначала найдите чужую ошибку

Рассмотрим неверное решение: «9/5 + 8/5 + 7/5 = 24/5, целая часть 5, потому что 24 ближе к 25, чем к 20». Правильный ответ — 4, ведь 24 = 4 × 5 + 4. Целая часть не округляется. Это первый принцип проверки: спрашивают не ближайшее целое число, а число полностью набранных групп из пяти долей.

На каждом шаге нужно сохранять один и тот же знаменатель. Если написано 13/6 + 5/6 − 2/6, можно складывать и вычитать только числители: (13 + 5 − 2)/6 = 16/6. Целая часть равна 2, остаток — 4. Не надо ни складывать знаменатели, ни вычитать их, ни делать отдельное округление после каждого действия.

Задания 1–5: исправьте рассуждения учеников. В некоторых примерах неверен сам суммарный числитель, в других — только вычисление целой части.

1. Ошибка 1. При вычислении целой части суммы 7/6 + 8/6 + 9/6 ученик написал: «Записали 3, складывая отдельно целые части 7/6, 8/6 и 9/6.» Найдите ошибку, запишите верный числитель получившейся дроби и верную целую часть.
2. Ошибка 2. При вычислении целой части суммы 15/4 + 8/4 − 5/4 ученик написал: «Записали 3, потому что после вычитания взяли на одну целую часть меньше.» Найдите ошибку, запишите верный числитель получившейся дроби и верную целую часть.
3. Ошибка 3. При вычислении целой части суммы 11/9 + 12/9 + 14/9 ученик написал: «Записали 5, ошибочно прибавив единицу из-за ненулевого остатка.» Найдите ошибку, запишите верный числитель получившейся дроби и верную целую часть.
4. Ошибка 4. При вычислении целой части суммы 18/8 − 7/8 + 16/8 ученик написал: «Записали 2, потеряв одну из добавленных восьмых долей.» Найдите ошибку, запишите верный числитель получившейся дроби и верную целую часть.
5. Ошибка 5. При вычислении целой части суммы 5/7 + 8/7 + 11/7 + 13/7 ученик написал: «Записали 4, случайно разделив суммарный числитель на 8.» Найдите ошибку, запишите верный числитель получившейся дроби и верную целую часть.

Теперь решайте самостоятельно — задания 6–15

Сначала найдите числитель после всех промежуточных добавлений и вычитаний долей. Затем выполните деление на неизменный знаменатель с остатком. Записывайте ответ как «целая часть; остаток», чтобы учитель мог проверить оба этапа работы.

6. В наборе долей последовательно выполняют действия 6/5 + 9/5 + 12/5. Чему равна целая часть итоговой неправильной дроби? Укажите остаток.
7. В наборе долей последовательно выполняют действия 14/6 + 7/6 − 4/6. Чему равна целая часть итоговой неправильной дроби? Укажите остаток.
8. В наборе долей последовательно выполняют действия 8/7 + 11/7 + 15/7. Чему равна целая часть итоговой неправильной дроби? Укажите остаток.
9. В наборе долей последовательно выполняют действия 20/9 − 6/9 + 13/9. Чему равна целая часть итоговой неправильной дроби? Укажите остаток.
10. В наборе долей последовательно выполняют действия 9/8 + 12/8 + 16/8 − 5/8. Чему равна целая часть итоговой неправильной дроби? Укажите остаток.
11. В наборе долей последовательно выполняют действия 11/10 + 18/10 + 7/10. Чему равна целая часть итоговой неправильной дроби? Укажите остаток.
12. В наборе долей последовательно выполняют действия 13/6 − 5/6 + 24/6. Чему равна целая часть итоговой неправильной дроби? Укажите остаток.
13. В наборе долей последовательно выполняют действия 17/7 + 9/7 + 6/7 − 4/7. Чему равна целая часть итоговой неправильной дроби? Укажите остаток.
14. В наборе долей последовательно выполняют действия 19/8 − 7/8 + 15/8 + 11/8. Чему равна целая часть итоговой неправильной дроби? Укажите остаток.
15. В наборе долей последовательно выполняют действия 24/9 + 8/9 − 5/9 + 19/9. Чему равна целая часть итоговой неправильной дроби? Укажите остаток.

Проверочные решения

В каждой строке сначала получаем одну дробь с общим знаменателем. Если результат деления — q целых и r долей, обязательно проверьте 0 ≤ r < d. Если остаток оказался равным d, целую часть нужно увеличить на единицу, а остаток заменить нулём.

Исправление ошибок 1–5

1. 1. Числитель 7 + 8 + 9 = 24. Дробь 24/6 имеет целую часть 4 (остаток 0). Отдельные остатки тоже образуют целую долю; сначала складывают числители.
2. 2. Числитель 15 + 8 + (-5) = 18. Дробь 18/4 имеет целую часть 4 (остаток 2). Сначала вычисляют суммарный числитель: вычитается только пять долей.
3. 3. Числитель 11 + 12 + 14 = 37. Дробь 37/9 имеет целую часть 4 (остаток 1). Целая часть — не округление до ближайшего целого.
4. 4. Числитель 18 + (-7) + 16 = 27. Дробь 27/8 имеет целую часть 3 (остаток 3). Выполняют арифметические действия с числителями по порядку.
5. 5. Числитель 5 + 8 + 11 + 13 = 37. Дробь 37/7 имеет целую часть 5 (остаток 2). Общий знаменатель остаётся 7 на каждом шаге.

Самостоятельные пункты 6–15

6. После действий в числителе получаем 27. Делим 27 на 5: целая часть 5, остаток 2; итого 27/5 = 5 и 2/5 (при нулевом остатке — ровно целое).
7. После действий в числителе получаем 17. Делим 17 на 6: целая часть 2, остаток 5; итого 17/6 = 2 и 5/6 (при нулевом остатке — ровно целое).
8. После действий в числителе получаем 34. Делим 34 на 7: целая часть 4, остаток 6; итого 34/7 = 4 и 6/7 (при нулевом остатке — ровно целое).
9. После действий в числителе получаем 27. Делим 27 на 9: целая часть 3, остаток 0; итого 27/9 = 3 и 0/9 (при нулевом остатке — ровно целое).
10. После действий в числителе получаем 32. Делим 32 на 8: целая часть 4, остаток 0; итого 32/8 = 4 и 0/8 (при нулевом остатке — ровно целое).
11. После действий в числителе получаем 36. Делим 36 на 10: целая часть 3, остаток 6; итого 36/10 = 3 и 6/10 (при нулевом остатке — ровно целое).
12. После действий в числителе получаем 32. Делим 32 на 6: целая часть 5, остаток 2; итого 32/6 = 5 и 2/6 (при нулевом остатке — ровно целое).
13. После действий в числителе получаем 28. Делим 28 на 7: целая часть 4, остаток 0; итого 28/7 = 4 и 0/7 (при нулевом остатке — ровно целое).
14. После действий в числителе получаем 38. Делим 38 на 8: целая часть 4, остаток 6; итого 38/8 = 4 и 6/8 (при нулевом остатке — ровно целое).
15. После действий в числителе получаем 46. Делим 46 на 9: целая часть 5, остаток 1; итого 46/9 = 5 и 1/9 (при нулевом остатке — ровно целое).

Короткий итог

Четыре частые причины неверной целой части: отдельно складывают целые части слагаемых и теряют накопившиеся остатки; изменяют общий знаменатель после вычитания; округляют вместо деления с остатком; забывают промежуточное действие. Чтобы быстро обнаружить любую из них, перепишите числитель одной строкой арифметических действий, вычислите его заново и сравните с произведением найденной целой части на знаменатель.