Определение уравнения прямой по известной середине отрезка — самостоятельная работа, 9 класс

Самостоятельная диагностика для 9 класса. 12 пунктов: три контрольных вопроса, затем девять задач на восстановление уравнения прямой. Ключевой вопрос — хватает ли сведений кроме середины отрезка?

Три контрольных вопроса

1. Задание 1. Известна только середина отрезка M(3;−2). Можно ли однозначно восстановить уравнение прямой, содержащей отрезок?
2. Задание 2. Середина M(2;5) принадлежит прямой с угловым коэффициентом k=−3. Найдите её уравнение.
3. Задание 3. Известна середина M(−4;1), а искомая прямая вертикальна. Какое уравнение?

Девять новых задач с разными дополнительными условиями

Середина M является точкой самой прямой AB. Чтобы найти единственное уравнение прямой, кроме M нужно знать её направление: угловой коэффициент, второй отличный от M пункт или параллельный ненулевой отрезок. Для вертикальной прямой используйте запись x=c. В задачах с известным концом A сначала восстановите B=2M−A.

1. Задание 4. M(1; −3) — середина некоторого отрезка AB, прямая AB имеет угловой коэффициент 2. Запишите уравнение прямой и проверьте координаты M.
2. Задание 5. M(−2; 4) — середина некоторого отрезка AB, прямая AB имеет угловой коэффициент −1/2. Запишите уравнение прямой и проверьте координаты M.
3. Задание 6. Точка M(4; 1) — середина AB, известен один конец A(1; 7). Восстановите B и получите уравнение прямой AB.
4. Задание 7. M(0; −5) — середина некоторого отрезка AB, прямая AB имеет угловой коэффициент 0. Запишите уравнение прямой и проверьте координаты M.
5. Задание 8. Точка M(−3; 2) — середина AB, известен один конец A(1; −2). Восстановите B и получите уравнение прямой AB.
6. Задание 9. Прямая AB проходит через свою известную середину M(5; −1) и параллельна ненулевому CD, где C(0; 2), D(3; 8). Найдите её уравнение.
7. Задание 10. Середина M(7; 4) лежит на прямой AB. Дополнительно известно, что AB перпендикулярен оси Ox. Найдите её уравнение.
8. Задание 11. Точка M(2; 3) — середина AB, известен один конец A(2; −5). Восстановите B и получите уравнение прямой AB.
9. Задание 12. Прямая AB проходит через свою известную середину M(−1; 6) и параллельна ненулевому CD, где C(−2; −1), D(2; −3). Найдите её уравнение.

Быстрый ключ контрольных вопросов

1. 1. Нет. Через M проходят y=−2, x=3 и бесконечно много других прямых. Середина даёт одну точку, но не задаёт направление.
2. 2. y−5=−3(x−2), значит y=−3x+11. Проверка: при x=2 получаем y=5.
3. 3. x=−4. Для вертикальной прямой нет конечного углового коэффициента; подстановка M подтверждает ответ.

Ключ и пояснения к девяти задачам

1. 4. Воспользуемся формулой y−y_M=k(x−x_M). Получаем y=2x−5. Подстановка x=1 даёт y=−3. Любые два различные пункта этой прямой, симметричные относительно M, можно взять за A и B.
2. 5. Воспользуемся формулой y−y_M=k(x−x_M). Получаем y=−1/2x+3. Подстановка x=−2 даёт y=4. Любые два различные пункта этой прямой, симметричные относительно M, можно взять за A и B.
3. 6. B=2M−A=(7; −5); направление AM=(3;−6), k=−6/3=−2. Уравнение y=−2x+9. Обратная проверка середины: (A+B)/2=(4; 1).
4. 7. Воспользуемся формулой y−y_M=k(x−x_M). Получаем y=−5. Подстановка x=0 даёт y=−5. Любые два различные пункта этой прямой, симметричные относительно M, можно взять за A и B.
5. 8. B=2M−A=(−7; 6); направление AM=(−4;4), k=4/−4=−1. Уравнение y=−1x−1. Обратная проверка середины: (A+B)/2=(−3; 2).
6. 9. Направляющий вектор CD=(3;6), k=6/3=2. Прямая через M с таким наклоном имеет уравнение y=2x−11. Проверка: оно выполняется в точке M, коэффициенты наклона совпадают.
7. 10. Прямая вертикальна: все её точки имеют ту же абсциссу, что и M. Ответ x=7. Одной записи y=kx+b здесь недостаточно, поскольку конечного k нет.
8. 11. B=2M−A=(2; 11); точки имеют одинаковые абсциссы, значит прямая вертикальна. Уравнение x=2. Обратная проверка середины: (A+B)/2=(2; 3).
9. 12. Направляющий вектор CD=(4;−2), k=−2/4=−1/2. Прямая через M с таким наклоном имеет уравнение y=−1/2x+11/2. Проверка: оно выполняется в точке M, коэффициенты наклона совпадают.

Как проверить, что ответ не случайный

Подставьте координаты M в полученное уравнение — равенство обязательно должно выполняться. Затем используйте дополнительное условие: проверьте угловой коэффициент или направление отрезка. Если дан конец A, убедитесь, что восстановленный B даёт середину M. Одна только проверка «M лежит на прямой» недостаточна: через точку проходят бесконечно многие прямые.

Короткая оценка: 1 балл за верное уравнение, 1 — за проверку в каждом из девяти основных заданий; 3 контрольных вопроса по 1 баллу. Всего 21 балл. При затруднениях сначала повторите формулы середины отрезка, затем формулу прямой через точку и её угловой коэффициент.