Определение условий монотонности для оснований между нулём и единицей — тематические карточки для 10 класса

Маршрут: выяснить, когда функция с основанием между нулём и единицей убывает и когда составление степени с линейным аргументом меняет направление. В начале предполагаем 0<a<1; этот диапазон не включает ни 0, ни 1. Для y=a^x при возрастании x значение строго убывает. Но если показатель равен −x или 2−x, показатель сам убывает, и сложная функция, наоборот, возрастает.

Лёгкий старт — сравните без вычисления десятичных степеней

1. Сравните (1/2)¹ и (1/2)⁴; объясните ответ одним свойством функции.
2. Сравните (1/3)⁻² и (1/3)²; объясните ответ одним свойством функции.
3. Сравните (2/5)⁰ и (2/5)³; объясните ответ одним свойством функции.
4. Сравните (3/4)⁻³ и (3/4)⁻¹; объясните ответ одним свойством функции.
5. Сравните (1/4)² и (1/4)⁵; объясните ответ одним свойством функции.

Напоминание: при x₁<x₂ и 0<a<1 верно a^x₁>a^x₂. Здесь сравнивают два значения одной функции, а не основания между собой. Эта логика остаётся верной и для отрицательных показателей: например, (1/2)⁻²=4 больше (1/2)¹=1/2.

Развилка: «убывает» или «возрастает»

6. Функция f(x)=1/2^2x+0. Верно ли заявление «f(x) всегда убывает, ведь основание меньше единицы»? Установите направление и объясните роль коэффициента при x.
7. Функция f(x)=1/3^-1x+3. Верно ли заявление «f(x) всегда убывает, ведь основание меньше единицы»? Установите направление и объясните роль коэффициента при x.
8. Функция f(x)=2/3^-2x+1. Верно ли заявление «f(x) всегда убывает, ведь основание меньше единицы»? Установите направление и объясните роль коэффициента при x.
9. Функция f(x)=1/5^3x-4. Верно ли заявление «f(x) всегда убывает, ведь основание меньше единицы»? Установите направление и объясните роль коэффициента при x.
10. Функция f(x)=3/5^1x+7. Верно ли заявление «f(x) всегда убывает, ведь основание меньше единицы»? Установите направление и объясните роль коэффициента при x.
11. Функция f(x)=1/4^-3x-2. Верно ли заявление «f(x) всегда убывает, ведь основание меньше единицы»? Установите направление и объясните роль коэффициента при x.

Подсказка для самоконтроля: если подставить x=0 и x=1, знак изменения для каждого задания совпадёт с объяснением через монотонность композиции. Нельзя говорить, что основание при отрицательном множителе становится больше единицы: основание по-прежнему меньше единицы, меняется только порядок значений показателя.

Три ступени применения: сравнение, неравенство, контрпример

12. Решите (1/2)^x>(1/2)³.
13. Решите (1/3)^2x−1≤(1/3)⁵.
14. Решите (2/5)^4−x>(2/5)¹.
15. Решите (3/4)^−2x≥(3/4)⁶.
16. Найдите, при каком параметре k функция y=(1/2)^kx+7 строго возрастает на всей ℝ.
17. Ученик говорит: «При 0<a<1 функция y=a^−x убывает». Приведите числовой контрпример.
18. Верно ли, что функция y=(1/4)^3−x возрастает при всех действительных x, в том числе отрицательных?

Ключ по маршруту

• 1. (1/2)¹ > (1/2)⁴, потому что 1<4, а 0<a<1.
• 2. (1/3)⁻² > (1/3)², потому что -2<2, а 0<a<1.
• 3. (2/5)⁰ > (2/5)³, потому что 0<3, а 0<a<1.
• 4. (3/4)⁻³ > (3/4)⁻¹, потому что -3<-1, а 0<a<1.
• 5. (1/4)² > (1/4)⁵, потому что 2<5, а 0<a<1.
• 6. Утверждение верно: показатель 2x+0 возрастает, поэтому f(x) убывает.
• 7. Утверждение неверно: показатель -1x+3 убывает, поэтому f(x) возрастает.
• 8. Утверждение неверно: показатель -2x+1 убывает, поэтому f(x) возрастает.
• 9. Утверждение верно: показатель 3x-4 возрастает, поэтому f(x) убывает.
• 10. Утверждение верно: показатель 1x+7 возрастает, поэтому f(x) убывает.
• 11. Утверждение неверно: показатель -3x-2 убывает, поэтому f(x) возрастает.
• 12. x<3: при основании 0<1/2<1 знак сравнения показателей меняется.
• 13. 2x−1≥5, откуда x≥3. Знак «≤» превращается в «≥» для показателей.
• 14. 4−x<1, значит x>3.
• 15. −2x≤6, деление на −2 меняет знак: x≥−3.
• 16. k<0. Если k=0, функция постоянна, а не возрастает.
• 17. При a=1/2 имеем f(0)=1, f(1)=2; значение возросло. Следовательно, утверждение ложно.
• 18. Да. При росте x показатель 3−x уменьшается, а основание 1/4 обращает порядок; область определения вся ℝ.

Итог: как исправлять самые частые ошибки

Если вы перепутали направление неравенства, возвращайтесь к двум числовым степеням с основанием 1/2: (1/2)⁰=1, а (1/2)¹=1/2. Более высокий показатель даёт меньший результат. При решении уравнения или неравенства сравнение показателей возможно только при одном и том же допустимом основании; нельзя сопоставлять показатели степеней с разными основаниями без дополнительных преобразований.

Если ошибка возникла в функциях со знаком «минус» перед x, сначала определите, возрастает или убывает внутренний линейный показатель. Убывание показателя и убывание функции t↦a^t дают возрастание композиции. При k=0 функция постоянна и не может быть ни строго возрастающей, ни строго убывающей.

Параметр 0<a<1 принципиален. При a=1 все степени равны 1, строгая монотонность исчезает. При a=0 выражения с отрицательными степенями не имеют смысла. При a<0 вещественная показательная функция для произвольного действительного аргумента не определена. Поэтому в ответе недостаточно написать «основание меньше единицы»: надо сохранить нижнюю границу a>0.

Последняя проверка полезна без вычисления громоздких дробей. Если решаете (1/3)^2x−1≤(1/3)⁵, то при x=3 обе части совпадают; при x=4 слева степень с более высоким показателем и значение меньше — неравенство выполнено. При x=2 показатель 3 меньше 5 и левая часть больше — неравенство не выполнено. Такая проба подтверждает луч [3; +∞).