Определение условий монотонности при сдвиге графика вверх: проверочная работа по математике, 10 класс

Проверочная работа, 10 класс. Рассматриваем y=a^x+c при a>0, a≠1 и c>0. Вертикальный сдвиг на c единиц вверх не меняет направление монотонности: при a>1 функция возрастает, при 0<a<1 — убывает. При этом горизонтальная асимптота становится y=c, а множество значений — (c; +∞). За каждый пункт можно получить 1 балл, всего 12.

Вопросы разных типов

1. Верно ли: y=2^x+7 строго возрастает на всей ℝ?
2. Убывает или возрастает f(x)=(1/3)^x+4?
3. При каком условии на a функция y=a^x+5 строго убывает?
4. Сравните f(1) и f(4), если f(x)=(1/2)^x+6.
5. У графика y=3^x+2 какова горизонтальная асимптота?
6. Укажите множество значений y=(1/4)^x+9.
7. Истинно ли, что повышение c с 2 до 20 может сделать y=(2/3)^x+c возрастающей?
8. Если y=a^x+3 проходит через точку (1; 7), возрастает ли функция?
9. Найдите c, если y=(1/2)^x+c проходит через (0; 11). Изменится ли убывание?
10. Решите 2^x+4>2³+4.
11. Ученик утверждает: «При c=5 график y=a^x+c пересекает прямую y=5». Прав ли он?
12. Сравните функции f(x)=(1/3)^x+2 и g(x)=(1/3)^x+8 по направлению монотонности; какая из них выше при каждом x?

Ключ и объяснение спорных ответов

• 1. Да: a=2>1, прибавление 7 не изменяет возрастание.
• 2. Строго убывает на ℝ: 0<1/3<1.
• 3. Необходимо и достаточно 0<a<1; сдвиг +5 не влияет на это условие.
• 4. f(1)>f(4), поскольку степень с основанием 1/2 убывает и добавляется одинаковая шестёрка.
• 5. Прямая y=2 — горизонтальная асимптота, не ось Ox.
• 6. (9; +∞), так как (1/4)^x>0 для всех действительных x; число 9 не достигается.
• 7. Нет: c изменяет только высоту графика, основание 2/3 сохраняет строгое убывание.
• 8. a+3=7 ⇒ a=4>1, поэтому функция строго возрастает.
• 9. 1+c=11 ⇒ c=10. Направление не меняется: функция строго убывает.
• 10. 2^x>2³ ⇒ x>3. Прибавленная четвёрка сокращается по обе стороны.
• 11. Нет. Для всех x верно a^x>0, поэтому a^x+5>5. Асимптота не пересекается.
• 12. Обе строго убывают; g(x)=f(x)+6 выше при каждом x.

Шкала оценки и исправление ошибок

Особенно внимательно проверьте пункты 5, 6 и 11: горизонтальная асимптота y=c не означает, что значение c достигается. Выражение a^x положительно для любого конечного x. Пункты 7 и 12 показывают, что увеличение сдвига меняет расположение графиков, но не порядок их значений при разных аргументах.

Для каждого ответа о строгой монотонности достаточно записать неравенство: при x₁<x₂ и a>1 выполняется a^x₁<a^x₂; если 0<a<1, знак обратный. Прибавление одинакового c к обеим сторонам сохраняет знак неравенства. Это и есть математическое обоснование, а не предположение по внешнему виду рисунка.