Определение времени достижения порога для сравнения линейного и экспоненциального процесса — задания с разбором, 10 класс

Учебная цель: сравнивать минимальный срок достижения порога в линейной и экспоненциальной моделях.

Линейная модель добавляет постоянную величину, а экспоненциальная умножает текущее значение на постоянный коэффициент. Нельзя заранее объявлять один процесс быстрее: результат зависит от порога, стартовой величины и коэффициента. Рассматриваются только целые годы n = 0, 1, 2, … .

Памятка перед печатью

• Для каждого задания используйте L(n) = A + dn и E(n) = A · qⁿ, q > 1.
• Условие достижения: значение ≥ T; равенство подходит.
• Отметьте найденные годы в обоих процессах. Для минимальности покажите, что годом раньше значение было меньше T.
• Запись «экспонента всегда обгонит сразу» не является обоснованием. Возможны ранний выигрыш линейной модели и ничья.

Вариант I — первые девять заданий

1. Начало 100. Каждый год линейный процесс прибавляет 30, экспоненциальный умножает результат на 1,25. Порог 200. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.
2. Начало 200. Каждый год линейный процесс прибавляет 25, экспоненциальный умножает результат на 1,5. Порог 400. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.
3. Начало 400. Каждый год линейный процесс прибавляет 60, экспоненциальный умножает результат на 1,2. Порог 600. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.
4. Начало 50. Каждый год линейный процесс прибавляет 40, экспоненциальный умножает результат на 2. Порог 250. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.
5. Начало 300. Каждый год линейный процесс прибавляет 50, экспоненциальный умножает результат на 1,1. Порог 500. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.
6. Начало 80. Каждый год линейный процесс прибавляет 20, экспоненциальный умножает результат на 1,5. Порог 160. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.
7. Начало 1000. Каждый год линейный процесс прибавляет 100, экспоненциальный умножает результат на 1,05. Порог 1400. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.
8. Начало 120. Каждый год линейный процесс прибавляет 45, экспоненциальный умножает результат на 1,25. Порог 270. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.
9. Начало 500. Каждый год линейный процесс прибавляет 75, экспоненциальный умножает результат на 1,4. Порог 1050. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.

Вариант II — другая серия данных

10. Начало 250. Каждый год линейный процесс прибавляет 30, экспоненциальный умножает результат на 1,2. Порог 460. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.
11. Начало 60. Каждый год линейный процесс прибавляет 24, экспоненциальный умножает результат на 1,5. Порог 150. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.
12. Начало 900. Каждый год линейный процесс прибавляет 120, экспоненциальный умножает результат на 1,1. Порог 1400. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.
13. Начало 150. Каждый год линейный процесс прибавляет 35, экспоненциальный умножает результат на 1,3. Порог 360. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.
14. Начало 100. Каждый год линейный процесс прибавляет 80, экспоненциальный умножает результат на 1,6. Порог 450. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.
15. Начало 700. Каждый год линейный процесс прибавляет 90, экспоненциальный умножает результат на 1,15. Порог 1100. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.
16. Начало 40. Каждый год линейный процесс прибавляет 15, экспоненциальный умножает результат на 1,8. Порог 135. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.
17. Начало 200. Каждый год линейный процесс прибавляет 60, экспоненциальный умножает результат на 1,2. Порог 530. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.
18. Начало 100. Каждый год линейный процесс прибавляет 10, экспоненциальный умножает результат на 1,4. Порог 260. Найдите оба первых года достижения и назовите более ранний процесс.

Ключ учителя: годы и обратная проверка

1. 1. L: n = 4, E: n = 4; раньше — одновременно процесс. Проверка E: на шаге 3 было 195,312 < 200; на шаге 4 — 244,141 ≥ 200.
2. 2. L: n = 8, E: n = 2; раньше — экспоненциальный процесс. Проверка E: на шаге 1 было 300 < 400; на шаге 2 — 450 ≥ 400.
3. 3. L: n = 4, E: n = 3; раньше — экспоненциальный процесс. Проверка E: на шаге 2 было 576 < 600; на шаге 3 — 691,2 ≥ 600.
4. 4. L: n = 5, E: n = 3; раньше — экспоненциальный процесс. Проверка E: на шаге 2 было 200 < 250; на шаге 3 — 400 ≥ 250.
5. 5. L: n = 4, E: n = 6; раньше — линейный процесс. Проверка E: на шаге 5 было 483,153 < 500; на шаге 6 — 531,468 ≥ 500.
6. 6. L: n = 4, E: n = 2; раньше — экспоненциальный процесс. Проверка E: на шаге 1 было 120 < 160; на шаге 2 — 180 ≥ 160.
7. 7. L: n = 4, E: n = 7; раньше — линейный процесс. Проверка E: на шаге 6 было 1340,096 < 1400; на шаге 7 — 1407,1 ≥ 1400.
8. 8. L: n = 4, E: n = 4; раньше — одновременно процесс. Проверка E: на шаге 3 было 234,375 < 270; на шаге 4 — 292,969 ≥ 270.
9. 9. L: n = 8, E: n = 3; раньше — экспоненциальный процесс. Проверка E: на шаге 2 было 980 < 1050; на шаге 3 — 1372 ≥ 1050.
10. 10. L: n = 7, E: n = 4; раньше — экспоненциальный процесс. Проверка E: на шаге 3 было 432 < 460; на шаге 4 — 518,4 ≥ 460.
11. 11. L: n = 4, E: n = 3; раньше — экспоненциальный процесс. Проверка E: на шаге 2 было 135 < 150; на шаге 3 — 202,5 ≥ 150.
12. 12. L: n = 5, E: n = 5; раньше — одновременно процесс. Проверка E: на шаге 4 было 1317,69 < 1400; на шаге 5 — 1449,459 ≥ 1400.
13. 13. L: n = 6, E: n = 4; раньше — экспоненциальный процесс. Проверка E: на шаге 3 было 329,55 < 360; на шаге 4 — 428,415 ≥ 360.
14. 14. L: n = 5, E: n = 4; раньше — экспоненциальный процесс. Проверка E: на шаге 3 было 409,6 < 450; на шаге 4 — 655,36 ≥ 450.
15. 15. L: n = 5, E: n = 4; раньше — экспоненциальный процесс. Проверка E: на шаге 3 было 1064,612 < 1100; на шаге 4 — 1224,304 ≥ 1100.
16. 16. L: n = 7, E: n = 3; раньше — экспоненциальный процесс. Проверка E: на шаге 2 было 129,6 < 135; на шаге 3 — 233,28 ≥ 135.
17. 17. L: n = 6, E: n = 6; раньше — одновременно процесс. Проверка E: на шаге 5 было 497,664 < 530; на шаге 6 — 597,197 ≥ 530.
18. 18. L: n = 16, E: n = 3; раньше — экспоненциальный процесс. Проверка E: на шаге 2 было 196 < 260; на шаге 3 — 274,4 ≥ 260.

Образец полного решения

Задание 1. Линейный процесс: 100 + 30n ≥ 200, то есть n ≥ 10/3. Поскольку время измеряют завершёнными годами, получаем n = 4; в год 3 имеем 190, этого недостаточно. Экспоненциальный процесс: 100 · 1,25³ = 195,3125 < 200; в год 4 значение равно 244,140625 ≥ 200. Оба впервые достигают порога через четыре года. Проверка двух предыдущих лет показывает, что ничья не возникла из округления.

Задание 4. При начале 50 и росте на 40 единиц каждый год линейному процессу нужно пять шагов для порога 250. Экспоненциальный процесс удваивается: 50 → 100 → 200 → 400, поэтому ему достаточно трёх шагов. Порог перешагнут, но не был достигнут раньше.

Шкала для взаимопроверки

За каждую задачу начисляйте один балл за линейный срок, один — за экспоненциальный и один — за верный вывод о том, кто достиг порога раньше. В задачах со спорной границей попросите показать значения в соседних годах, а не только десятичную приблизительную оценку логарифма. Разрешается сначала составить таблицу для первых пяти лет, затем перейти к рассуждению.